Найти напряжённость магнитного поля в центре полукольца

[Антон Огурцевич]

3.6. Найти напряжённость магнитного поля в центре полукольца, соединённого своими концами с двумя полубесконечными параллельными проводниками. Расстояние между проводниками равняется 1 м и по ним течёт ток силой 1 А. Все проводники лежат в одной плоскости. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: индукцию магнитного поля в точке О можно определить воспользовавшись принципом суперпозиции полей: индукция магнитного поля системы токов равна геометрической сумме индукций полей создаваемых в этой точке каждым из токов. Разобьем провод на три части: два прямолинейных проводника АВ и СD уходящие одним концом в бесконечность и полуокружность BC радиусом R = 0,5 м. Таким образом
\[ \vec{B}={{\vec{B}}_{AB}}+{{\vec{B}}_{CD}}+{{\vec{B}}_{BC}}. \]
Магнитная индукция кругового тока I радиуса R в центре рассчитывается по формуле
\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}, \]
μ₀=4π•10^-7 Гн/м – магнитная постоянная
Таким образом, учитывая, что это полуокружность, получаем
\[ {{B}_{BC}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot R}. \]
Магнитная индукция на расстоянии R от прямолинейного провода длиной l, по которому течёт ток I, определяется по формуле
\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}\cdot \left( \cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}} \right), \]
И в нашем случае для участков AB и CD, учитывая, что α₁ = π/2 и α₂ = π, получаем
\[ {{B}_{AB}}={{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}\cdot \left( \cos \frac{\pi }{2}-\cos \pi  \right)=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}\cdot \left( 0-\left( -1 \right) \right)=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}. \]
Причём, если воспользоваться правилом Буравчика, ясно что все вектора: B_BС, B_AB и вектор B_CD направлены от нас в плоскость рисунка. Таким образом, с учётом направлений (за положительное направление выберем «от нас»), суммарная индукция поля будет равна
\[ B={{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}+\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}+\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot R}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot \left( 2+\pi  \right)}{4\pi \cdot R}, \]
Так как в условии нет специальных оговорок, то считаем, что проводник в вакууме, тогда индукция магнитного поля B связана с напряженностью магнитного поля H следующим образом
\[ H=\frac{B}{{{\mu }_{0}}}, \]
Получаем окончательный результат
\[ H=\frac{I\cdot \left( 2+\pi  \right)}{4\pi \cdot R}, \]
\[ H=\frac{1\cdot \left( 2+3,14 \right)}{4\cdot 3,14\cdot 0,5}=0,82. \]
Ответ: 0,82 А/м.