Решение
Мощность во внешней цепи: \[ P={{I}^{2}}R(1). \]
Закон Ома для полной цепи: \[ I=\frac{E}{R+r}(2). \]
Сопротивление внешней нагрузки в первом случаи R1 = R, после подключения параллельно такого же сопротивления - R2 = R / 2.
Объединим (1) и (2), запишем для первого и второго случая, приравняем, учитывая изменения внешней нагрузки:
\[ \begin{align}
& P={{I}^{2}}R={{\left( \frac{E}{R+r} \right)}^{2}}R=\frac{{{E}^{2}}R}{{{(R+r)}^{2}}}. \\
& \frac{{{E}^{2}}{{R}_{1}}}{{{({{R}_{1}}+r)}^{2}}}=\frac{{{E}^{2}}{{R}_{2}}}{{{({{R}_{2}}+r)}^{2}}},({{R}_{1}}=R,{{R}_{2}}=\frac{R}{2}) \\
& \frac{R}{{{(R+r)}^{2}}}=\frac{{{R}_{{}}}}{2{{(\frac{R}{2}+r)}^{2}}}\Rightarrow 2{{(\frac{R}{2}+r)}^{2}}={{(R+r)}^{2}}\Rightarrow \\
& \sqrt{2{{(\frac{R}{2}+r)}^{2}}}=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}}\Rightarrow \sqrt{2}(\frac{R}{2}+r)=(R+r)\Rightarrow \\
& R\frac{\sqrt{2}}{2}+r\sqrt{2}=R+r\Rightarrow r(\sqrt{2}-1)=R(1-\frac{\sqrt{2}}{2})\Rightarrow \\
& r=\frac{R(1-\frac{\sqrt{2}}{2})}{\sqrt{2}-1}=\frac{10\sqrt{2}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})}{\sqrt{2}-1}=\frac{10\cdot 1,41(1-0,705)}{1,41-1}=10,15 Ом. \\
\end{align} \]
Ответ: 10,15 Ом.
