На какой высоте от точки подвеса находилось тело в момент разрыва нити?

[Антон Огурцевич]

15.3. А. Тело массой m = 200 г подвешено на нити длиной l = 80 см. Его отклоняют от положения равновесия до высоты точки подвеса и отпускают. Во время спуска нить оборвалась. На какой высоте от точки подвеса находилось тело в момент разрыва нити, если она разрывается под действием силы F = 4 Н? Ответ: h = 0,54 м. Сделать рисунок.

[Эдуард]

Решение
Второй закон Ньютона
\[ \begin{align}
  & m\vec{a}=\vec{T}+m\vec{g}, \\
 & Ox:m{{a}_{ц}}=T-mg\cos \alpha , \\
 & T=m({{a}_{ц}}+g\cos \alpha ).(1) \\
\end{align}  \]
Сила натяжения нити Т не должна превышать значение F = 4 Н.
Центростремительное ускорение
\[ {{a}_{ц}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}.(2)  \]
Скорость в момент отрыва найдем, используя закон сохранения энергии
\[ \begin{align}
  & mgh=\frac{m{{\upsilon }^{2}}}{2}\Rightarrow {{\upsilon }^{2}}=2gh,(3) \\
 & {{a}_{ц}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{l}=\frac{2gh}{l}.(4) \\
\end{align}  \]
Косинус угла
\[ \cos \alpha =\frac{h}{l}.(5) \]
Найдем высоту  h подставляя (4), (5) в (1)
\[ \begin{align}
  & F=m(\frac{2gh}{l}+g\frac{h}{l})=\frac{3mgh}{l}\Rightarrow h=\frac{Fl}{3mg}, \\
 & h=\frac{4\cdot 0,8}{3\cdot 0,2\cdot 9,8}=0,54. \\
\end{align}  \]
Ответ: 0,54 м.