Определить направление и величину индукции магнитного поля в точке А

[Антон Огурцевич]

Определить направление и величину индукции магнитного поля в точке А, если ток I = 20 А, R = 0,1 м. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: индукцию магнитного поля в точке A можно определить воспользовавшись принципом суперпозиции полей: индукция магнитного поля системы токов равна геометрической сумме индукций полей, создаваемых в этой точке каждым из токов. Разобьем провод на три части: два прямолинейных проводника OВ и СD уходящие одним концом в бесконечность и полуокружность BC радиусом R (см. рис.) Таким образом
\[ \vec{B}={{\vec{B}}_{OB}}+{{\vec{B}}_{CD}}+{{\vec{B}}_{BC}}. \]
Магнитная индукция кругового тока I радиуса R в центре рассчитывается по формуле
\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}, \]
μ₀=4π•10^-7 Гн/м – магнитная постоянная
Таким образом, учитывая, что это полуокружность, получаем
\[ {{B}_{BC}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot R}. \]
Магнитная индукция на расстоянии R от прямолинейного провода длиной l, по которому течёт ток I, определяется по формуле
\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}\cdot \left( \cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}} \right), \]
И в нашем случае для участка OB, учитывая, что α₁ = π/2 и α₂ = π, получаем
\[ {{B}_{OB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}\cdot \left( \cos \frac{\pi }{2}-\cos \pi  \right)=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}\cdot \left( 0-\left( -1 \right) \right)=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}. \]
Точка A лежит на продолжении проводника CD, поэтому индукция B_CD = 0.
Воспользуемся правилом Буравчика: вектор B_ОB направлен вниз (против направления оси Y), вектор B_CD направлен «от нас» -  в отрицательном направлении оси Z. Угол между векторами – прямой, поэтому результирующую индукцию определим по теореме Пифагора:
\[ B=\sqrt{B_{OB}^{2}+B_{BC}^{2}}=\sqrt{{{\left( \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot R} \right)}^{2}}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}\cdot \sqrt{\left( 1+{{\pi }^{2}} \right)}, \]
\[ B=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 20}{4\pi \cdot 0,1}\cdot \sqrt{\left( 1+{{3,14}^{2}} \right)}=6,59\cdot {{10}^{-5}}. \]
Ответ: 65,9 мкТл.