Две длинные прямые нити

[Антон Огурцевич]

1.36. Две длинные прямые нити параллельны друг другу и находятся на расстоянии R = 10 см друг от друга. На них равномерно распределены заряды с линейными плотностями τ₁ = 0,7 мкКл/м и τ₂ = 10 мкКл/м. Определить напряжённость поля в точке, удалённой от первой нити на расстоянии 4 см, а от второй на расстоянии 8 см. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Для определения напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным стержнем, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:

\[ \oint\limits_{S}{\vec{E}\cdot d\vec{S}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\cdot Q,E\cdot S=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}\ \ \ (1)\cdot  \]

Где: ε₀ = 8,85 ∙ 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Представим вокруг стержня замкнутую поверхность – цилиндр, радиуса r и длиной l (l = ∞). Для оснований E = 0, для боковой поверхности зависит от расстояния r. Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра. 

\[ S=\text{ }2\cdot \pi \cdot r\cdot l\ \ \ \ (2),\text{ }Q=\tau \cdot l\ \ \ (3),\text{ }E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l=\frac{\tau \cdot l}{{{\varepsilon }_{0}}},\text{ }E=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}\ \ \ (4). \]

Покажем векторы напряженности в указанной точке созданные нитями (рис).   
Для нахождения равнодействующей напряженности используем теорему косинусов:

\[ \begin{align}
  & \vec{E}={{{\vec{E}}}_{1}}+{{{\vec{E}}}_{2}}.\ {{E}^{2}}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\cdot {{E}_{1}}\cdot {{E}_{2}}\cdot \cos \alpha , \\
 & \ E=\sqrt{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\cdot {{E}_{1}}\cdot {{E}_{2}}\cdot \cos \alpha }\ \ \ (5). \\
\end{align} \]

соsα найдем используя теорему косинусов:

\[ \begin{align}
  & {{R}^{2}}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2\cdot {{r}_{1}}\cdot {{r}_{2}}\cdot \cos \alpha ,cos\alpha =\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-{{R}^{2}}}{2\cdot {{r}_{1}}\cdot {{r}_{2}}}\ \ \ (2). \\
 & cos\alpha =\frac{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}-{{10}^{2}}}{2\cdot 4\cdot 8}=-0,3125. \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & E=\sqrt{{{(\frac{{{\tau }_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}_{1}}})}^{2}}+{{(\frac{{{\tau }_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}_{2}}})}^{2}}+2\cdot \frac{{{\tau }_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}_{1}}}\cdot \frac{{{\tau }_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}_{2}}}\cdot \cos \alpha }. \\
 & E=\frac{1}{2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \sqrt{{{(\frac{{{\tau }_{1}}}{{{r}_{1}}})}^{2}}+{{(\frac{{{\tau }_{2}}}{{{r}_{2}}})}^{2}}+2\cdot \frac{{{\tau }_{1}}}{{{r}_{1}}}\cdot \frac{{{\tau }_{2}}}{{{r}_{2}}}\cdot \cos \alpha }. \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & E=\frac{1}{2\cdot 3,14\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot \sqrt{\frac{0,7\cdot 0,7\cdot {{10}^{-12}}}{4\cdot {{10}^{-2}}\cdot 4\cdot {{10}^{-2}}}+\frac{10\cdot 10\cdot {{10}^{-12}}}{8\cdot {{10}^{-2}}\cdot 8\cdot {{10}^{-2}}}+2\cdot \frac{0,7\cdot 10\cdot {{10}^{-12}}}{4\cdot {{10}^{-2}}\cdot 8\cdot {{10}^{-2}}}\cdot (-0,3125)}= \\
 & =2,171\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 2,171∙10⁶ В/м.