Человек сидит на скамье Жуковского

[Антон Огурцевич]

18. Человек сидит на скамье Жуковского и держит на вытянутых руках гири массой m = 5 кг. Расстояние от каждой гири до оси скамьи r₁ = 70 см. Скамья вращается с частотой n₁ = 1 с⁻¹ . Как изменится частота вращения скамьи и какую работу А совершит человек, если он сожмёт в локтях руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до r₂ = 20 см? Момент инерции скамьи с человеком вместе относительно оси скамьи J = 2,5 кг*м². Сделать рисунок.

[Сергей]

Сделать рисунок.
Решение. Для решения задачи применим закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке, и состоит в следующем:
Если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Момент импульса определяется по формуле:

L = J∙ω   (1), ω = 2∙π∙n   (2), L = J∙2∙π∙n   (3).

ω – угловая скорость. J – момент инерции.
Момент инерции скалярная величина. Определим суммарный момент инерции в каждом случае относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр большего диска.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ (J₀ – момент инерции диска с человеком) относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния r между осями:

\[ \begin{align}
  & {{J}_{1}}={{J}_{0}}+2\cdot m\cdot r_{1}^{2}\ \ \ (4),\ {{J}_{2}}={{J}_{0}}+2\cdot m\cdot r_{2}^{2}\ \ \ (5),\ {{L}_{1}}={{L}_{2}}\ \ \ (6), \\
 & ({{J}_{0}}+2\cdot m\cdot r_{1}^{2})\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}=({{J}_{0}}+2\cdot m\cdot r_{2}^{2})\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}},\ {{n}_{2}}=\frac{({{J}_{0}}+2\cdot m\cdot r_{1}^{2})\cdot {{n}_{1}}}{({{J}_{0}}+2\cdot m\cdot r_{2}^{2})}\ \ \ (7). \\
 & {{n}_{2}}=\frac{(2,5+2\cdot 5\cdot {{0,7}^{2}})\cdot 1}{2,5+2\cdot 5\cdot {{0,2}^{2}}}=2,551. \\
\end{align} \]

n₂ / n₁ = 2,551 с^-1

Запишем формулу по которой определим работу которую необходимо произвести чтобы разогнать диск:

\[ \begin{align}
  & A=\frac{{{J}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{2}-\frac{{{J}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}{2}\ \ \ \ (7),\ {{\omega }_{1}}\ =2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}\ \ \ (8\ ),\ {{\omega }_{2}}\ =2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}}\ \ \ (9), \\
 & A=\ \frac{({{J}_{0}}+2\cdot m\cdot r_{2}^{2})\cdot {{(2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}})}^{2}}}{2}-\ \frac{({{J}_{0}}+2\cdot m\cdot r_{1}^{2})\cdot {{(2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}})}^{2}}}{2},\  \\
 & A=\frac{(2,5+2\cdot 5\cdot {{0,2}^{2}})\cdot {{(2\cdot 3,14\cdot 2,551)}^{2}}}{2}-\frac{(2,5+2\cdot 5\cdot {{0,7}^{2}})\cdot {{(2\cdot 3,14\cdot 1)}^{2}}}{2}=257,5. \\
\end{align}
 \]

Ответ: n₂ / n₁ = 2,551 с^-1, А = 257,5 Дж.