Решение.
Определим какой заряд
q необходимо поместить в точку
О, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Система будет находится в равновесии когда равнодействующая сила которая действует на заряд который находится в вершине треугольника равна нулю. Покажем рисунок.
\[ {{\vec{F}}_{12}}+{{\vec{F}}_{13}}+{{\vec{F}}_{10}}=0\ \ \ (1). \]
Для нахождения равнодействующей силы положительных зарядов
F23 используем теорему косинусов:
\[ \begin{align}
& {{F}_{23}}^{2}=F_{12}^{2}+F_{13}^{2}+2\cdot {{F}_{12}}\cdot {{F}_{13}}\cdot \cos \alpha ,\ \alpha ={{60}^{{}^\circ }}, \\
& \ {{F}_{23}}=\sqrt{F_{12}^{2}+F_{13}^{2}+2\cdot {{F}_{12}}\cdot {{F}_{13}}\cdot \frac{1}{2}}\ \ , \\
& {{F}_{12}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{a}^{2}}}=\frac{k\cdot {{Q}^{2}}}{{{a}^{2}}},\ {{F}_{13}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{3}} \right|}{{{a}^{2}}}=\frac{k\cdot {{Q}^{2}}}{{{a}^{2}}}, \\
& \ {{F}_{23}}=\frac{\sqrt{3}\cdot k\cdot {{Q}^{2}}}{{{a}^{2}}}\ \ \ (2). \\
\end{align}
\]
По условию задачи сила притяжения со стороны отрицательного заряда уравновешивает силы отталкивания положительных зарядов.
\[ \begin{align}
& {{F}_{23}}={{F}_{10}}\ \ \ (3),\ {{F}_{10}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{0}} \right|\cdot Q}{{{r}^{2}}}\ \ \ (4),\ r=\frac{a}{\sqrt{3}}\ \ \ (5),\ \frac{\sqrt{3}\cdot k\cdot {{Q}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{0}} \right|\cdot Q\cdot 3}{{{a}^{2}}},\ \\
& \sqrt{3}\cdot Q=\left| {{q}_{0}} \right|\cdot 3,\ \left| {{q}_{0}} \right|=\frac{\sqrt{3}\cdot Q}{3},\ \left| {{q}_{0}} \right|=\frac{Q}{\sqrt{3}}\ \ \ (6). \\
& \left| {{q}_{0}} \right|=\frac{2\cdot {{10}^{-9}}}{\sqrt{3}}=1,156\cdot {{10}^{-9}}. \\
\end{align} \]
k = 9∙10
9 Н∙м
2 / Кл
2.
r – радиус описанной окружности около равностороннего треугольника.
q = -1,156∙10
-9 Кл.
