Кольцо радиусом

[Антон Огурцевич]

1. 10. Кольцо радиусом R = 5 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной плотностью τ = 14 нКл/м. Определить напряжённость поля на оси, проходящей через центр кольца, в точке А, удалённой на расстоянии l = 10 см от центра кольца. Ответ: 2,83 кВ/м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Заряд всего кольца равен:

\[ q=\int{dq=\tau \cdot 2\cdot \pi \cdot R(1).} \]

Возьмем элемент кольца dl. Этот элемент имеет заряд dq. Напряженность электрического поля в точке А, созданная этим элементом:

\[ dE=\frac{k\cdot dq}{{{x}^{2}}}\ \ \ (2). \]

Она направлена по линии х, соединяющей элемент кольца dl с точкой А. Для нахождения напряженности поля всего кольца надо векторно сложить dE от всех элементов.

\[ \begin{align}
  & dE=d\cdot E\cdot \cos \alpha =dE\cdot \frac{l}{x}=\frac{k\cdot l\cdot dq}{{{x}^{2}}},E=\int{dE=\frac{k\cdot l}{{{x}^{3}}}}\int{dq=}\frac{k\cdot l\cdot 2\cdot \pi \cdot R\cdot \tau }{{{x}^{3}}}. \\
 & x=\sqrt{{{R}^{2}}+{{l}^{2}}},E=\frac{k\cdot l\cdot 2\cdot \pi \cdot R\cdot \tau }{{{(\sqrt[{}]{{{R}^{2}}+{{l}^{2}}})}^{3}}}.E=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 0,1\cdot 2\cdot 3,14\cdot 14\cdot {{10}^{-9}}\cdot 5\cdot {{10}^{-2}}}{{{(\sqrt{{{(5\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}+{{(10\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}})}^{3}}}=2830,97. \\
\end{align} \]

Е = 2,83∙10³ В/м.