Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью

[Антон Огурцевич]

1. 21. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью тау = 1 нКл/см. Какую скорость приобретёт электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряжённости с расстояния R₁ = 1,5 см до R₂ = 1 см? Ответ: 16 Мм/с.  Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \begin{align}
  & {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(1),{{\Phi }_{E}}=\oint{{{E}_{n}}}\cdot dS=E\cdot S=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l(2), \\
 & Q=\tau \cdot l(3),\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,\frac{\tau \cdot l}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,E=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(1). \\
\end{align}
 \]

Где: ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Электрон находится на расстоянии R₁ = 1,5 см от нити, в этой точке его скорость равна нулю. Под действием электрического поля нити электрон перемещается вдоль линии напряжённости в точку R₂ = 1 см и приобретают некоторую скорость. Изменяется кинетическая энергия электрона. Изменение кинетической энергия электрона равно работе всех сил, действующих на электрон.
Запишем уравнение элементарной работы, совершаемой внешними силами при перемещении электрона из точки 1 в точку 2.

\[ \begin{align}
  & dA=F\cdot dr(2),F=e\cdot E(3),\,dA=e\cdot E\cdot dr,\,dA=e\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}\cdot dr(4). \\
 & A=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{e\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}\cdot dr}=e\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}(5). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & \frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}=e\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}},\upsilon =\sqrt{\frac{e}{m}\cdot \frac{\tau }{\pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}(6). \\
 & \upsilon =\sqrt{\frac{(-1,6\cdot {{10}^{-19}})}{9,1\cdot {{10}^{-31}}}\cdot \frac{1\cdot {{10}^{-7}}}{3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot \ln \frac{1,0\cdot {{10}^{-2}}}{1,5\cdot {{10}^{-2}}}}= \\
 & =\sqrt{\frac{(-1,6\cdot {{10}^{-19}})}{9,1\cdot {{10}^{-31}}}\cdot \frac{1\cdot {{10}^{-7}}}{3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (-0,4)}=15,97\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]

Где: m – масса электрона, m = 9,1∙10^-31 кг, е – заряд электрона, е = -1,6∙10^-19 Кл.
Ответ: 16 Мм/с.