Электростатическое поле создаётся шаром

[Антон Огурцевич]

1. 39. Электростатическое поле создаётся шаром радиусом R = 10 см, равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ = 20 нКл/м³. Определить разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на расстояниях R₁ = 2 см и R₂ = 8 см от его центра. Ответ: 2,26 В. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Объёмную плотность энергии шара определим по формуле:

\[ \rho =\frac{q}{V}(1),V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(2),q=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(3). \]

Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса в нашем случае (r < R):

\[ \begin{align}
  & E=\frac{q\cdot r}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{3}}}=\frac{\rho \cdot r}{3\cdot {{\varepsilon }_{0}}},(r<R), \\
 & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{2}}},(r=R), \\
 & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}=\frac{k\cdot q}{{{r}^{2}}},(r>R). \\
\end{align}
 \]

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях R₁ и R₂ от центра сферы равна:

\[ \begin{align}
  & {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{Edr=}\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{\rho \cdot r}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}dr=\frac{\rho }{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \left. \frac{{{r}^{1+1}}}{1+1} \right|}_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}=\frac{\rho }{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{2}. \\
 & {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\frac{20\cdot {{10}^{-9}}}{3\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (\frac{{{(8\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}-{{(2\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{2})=2,26. \\
\end{align}
 \]

ε = 1, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Ответ: 2,26 В.