Расстояние между пластинами плоского конденсатора

[Антон Огурцевич]

1. 48. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм, разность потенциалов U = 1,2 кВ. Определить: 1) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 2) поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике, если известно, что диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами, χ = 1. Ответ: 1) 4,24 мкКл/м²; 2) 2,12 мкКл/м². Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определим диэлектрическую проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами. Диэлектрическая восприимчивость вещества и диэлектрическая проницаемость связаны между собой.

ε = 1 + χ   (1).

χ – диэлектрическая восприимчивость вещества.

ε = χ + 1, χ  = 1 + 1 = 2.

1). Определим поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора. Напряженность поля двух пластин конденсатора определяется по формуле.

\[ E=\frac{\sigma }{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\,\,(1). \]

Где: ε = 2 – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Выразим напряженность через напряжение и расстояние между обкладками.

\[ \begin{align}
  & E=\frac{U}{d}(2),\frac{U}{d}=\frac{\sigma }{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}},\sigma =\frac{U}{d}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}(3). \\
 & \sigma =\frac{1,2\cdot {{10}^{3}}}{5\cdot {{10}^{-3}}}\cdot 2\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}=4,24\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

2). Определим поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике.
Диэлектрическая пластина находится в однородном внешнем электрическом поле, которое создается сторонними зарядами с поверхностной плотностью заряда. Под действием внешнего поля индуцируется связанный заряд с поверхностной плотностью σ. Образование поляризованных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля, направленного против внешнего.

Е = Е₀ – Е₁    (1).

Таким образом, если диэлектрик находится во внешнем поле, то внутри диэлектрика поле ослабляется, но полностью не исчезает. Дополнительное поле, может быть рассчитано как поле плоского конденсатора, на обкладках которого находятся заряды (+q) и (-q). Учитываем, что диэлектрик уже находится в между пластинами.

\[ \begin{align}
  & {{E}_{1}}=\frac{\sigma }{{{\varepsilon }_{0}}}(2),E={{E}_{0}}-\frac{\sigma }{{{\varepsilon }_{0}}}\,(3),\sigma ={{\varepsilon }_{0}}\cdot ({{E}_{0}}-E)(4),{{E}_{0}}=\frac{U}{d}\cdot \varepsilon (5),E=\frac{U}{d}(6), \\
 & \sigma ={{\varepsilon }_{0}}\cdot (\frac{U}{d}\cdot \varepsilon -\frac{U}{d})={{\varepsilon }_{0}}\cdot \frac{U}{d}\cdot (\varepsilon -1)(7). \\
 & \sigma =8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot \frac{1,2\cdot {{10}^{3}}}{5\cdot {{10}^{-3}}}(2-1)=2,124\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 1) 4,24 мкКл/м²; 2) 2,12 мкКл/м².