Определить поверхностную плотность связанных зарядов эбонитовой пластинки

[Антон Огурцевич]

1. 46. Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет d = 1 см, разность потенциалов U = 200 B. Определить поверхностную плотность σ связанных зарядов эбонитовой пластинки (ε = 3) толщиной d = 8 мм, помещённой на нижнюю пластину конденсатора. Ответ: 253 нКл/м². Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Определим напряженность эбонитовой пластинки (ε = 3) толщиной d = 8 мм, помещённой на нижнюю пластину конденсатора.
Разность потенциалов между обкладками конденсатора распишем по формуле:

\[ U={{E}_{1}}\cdot {{d}_{1}}+{{E}_{2}}\cdot {{d}_{2}}\ \ \ (1). \]

Вектор электрического смещения не изменяется в любой диэлектрической среде:

\[ D={{\varepsilon }_{0}}\cdot {{\varepsilon }_{1}}\cdot {{E}_{1}}={{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon \cdot {{E}_{2}},\ {{\varepsilon }_{1}}\ =1,{{E}_{1}}=\varepsilon \cdot {{E}_{2}}\ (2). \]

Из (2) выразим Е₁ подставим в (1) и найдем Е₂ (напряжённость электростатического поля в эбонитовой пластинке):\

\[ U={{E}_{2}}\cdot {{d}_{2}}+\varepsilon \cdot {{E}_{2}}\cdot {{d}_{1}},\ {{d}_{1}}=d-{{d}_{2}}(3),{{E}_{2}}=\frac{U}{{{d}_{2}}+{{\varepsilon }_{2}}\cdot (d-{{d}_{2}})}\,(4). \]

Запишем формулу для определения поверхностной плотности связанных зарядов на эбонитовой пластинке. Диэлектрическая пластина находится в однородном внешнем электрическом поле, которое создается сторонними зарядами с поверхностной плотностью заряда. Под действием внешнего поля индуцируется связанный заряд с поверхностной плотностью σ. Образование поляризованных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля, направленного против внешнего.

Е₂ = Е₀ – Е₀₁    (5).

Таким образом, если диэлектрик находится во внешнем поле, то внутри диэлектрика поле ослабляется, но полностью не исчезает.
Дополнительное поле, может быть рассчитано как поле плоского конденсатора, на обкладках которого находятся заряды (+q) и (-q).

\[ \begin{align}
  & {{E}_{01}}=\frac{\sigma }{{{\varepsilon }_{0}}}(6),{{E}_{2}}={{E}_{0}}-\frac{\sigma }{{{\varepsilon }_{0}}},{{E}_{0}}={{E}_{2}}\cdot \varepsilon (7), \\
 & \frac{U\cdot \varepsilon }{{{d}_{2}}+\varepsilon \cdot (d-{{d}_{2}})}-\frac{U}{{{d}_{2}}+\varepsilon \cdot (d-{{d}_{2}})}=\frac{\sigma }{{{\varepsilon }_{0}}},\sigma =\frac{U\cdot (\varepsilon -1)\cdot {{\varepsilon }_{0}}}{{{d}_{2}}+\varepsilon \cdot (d-{{d}_{2}})}. \\
 & \sigma =\frac{200\cdot (3-1)\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}{8\cdot {{10}^{-3}}+3\cdot (10\cdot {{10}^{-3}}-8\cdot {{10}^{-3}})})=252,8\cdot {{10}^{-9}}. \\
\end{align} \]

Где: ε = 3 – диэлектрическая проницаемость эбонита, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Ответ: 253 мкКл/м².