Определить магнитную индукцию

[Антон Огурцевич]

4. 6.   Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного провода, в точке, равноудалённой от концов отрезка и находящейся на расстоянии R = 4 см от его середины. Длина отрезка провода l = 20 см, а сила тока в проводе I = 10 А. Ответ: 46,4 мкТл. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha ,} \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (1). \\
\end{align} \]

Где: μ₀ = 4∙π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная, R - расстояние от т. О до оси проводника; – α₁ и α₂ углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.

\[ \begin{align}
  & \cos {{\alpha }_{1}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot l}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\frac{1}{2}\cdot l)}^{2}}}},\cos {{\alpha }_{1}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 0,2}{\sqrt{{{0,04}^{2}}+{{(\frac{1}{2}\cdot 0,2)}^{2}}}}=0,9284775. \\
 & arccos{{\alpha }_{1}}={{21,8}^{0}},\,{{\alpha }_{2}}={{180}^{0}}-{{21,8}^{0}}={{158,2}^{0}}. \\
 & \cos {{\alpha }_{2}}=-0,9284775. \\
 & B=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 10}{4\cdot 3,14\cdot 4\cdot {{10}^{-2}}}\cdot (0,9284775-(-0,9284775))=4,64\cdot {{10}^{-5}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 46,4 мкТл.