Две концентрические проводящие сферы радиусами

[Антон Огурцевич]

1. 61. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ = 20 см и R₂ = 50 см заряжены соответственно одинаковыми зарядами Q = 100 нКл. Определить энергию электростатического поля, заключённого между этими сферами. Ответ: 135 мкДж. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Объемную плотность энергии можно определить по формулам:

\[ w=\frac{dW}{dV}(1),w=\frac{1}{2}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}(2). \]

ε = 1,0 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
dV – элемент объема, элемент объема выразим через радиус элементарного сферического слоя.

dV = 4∙π∙r²∙dr      (3).

По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \oint{E\cdot dS}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}},E=\frac{Q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}(4). \]

\[ \begin{align}
  & dW=wdV,dW=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{Q}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{4}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr=\frac{{{Q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}\cdot dr. \\
 & W=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{{{Q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{Q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}=\frac{{{Q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (\frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}}). \\
\end{align} \]

\[ W=\frac{{{(100\cdot {{10}^{-9}})}^{2}}}{8\cdot 3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (\frac{0,5-0,2}{0,5\cdot 0,2})=134,945\cdot {{10}^{-6}}. \]

Ответ: 135 мкДж.