В вершинах правильной геометрической фигуры

[Антон Огурцевич]

Задачи для контрольной работы
В вершинах правильной геометрической фигуры расположены бесконечно длинные проводники, направление токов которых указано на рисунках 28 – 33. Найти вектор магнитной индукции в точке А, расположенной в центре геометрической фигуры. Значения токов I₁= 2 А, I₂=2 А, I₃ = 2 А, I₄ = 2 А и стороны a = 4 см для вариантов 0 – 10* приведены в табл. 8
Определить B-? (Тл)

[Сергей]

Решение.
Направление линий магнитной индукции создаваемые бесконечно длинными тонкими проводниками с током в точке А определим по правилу буравчика или по правилу правой руки.
Магнитная индукция магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током на расстоянии R от проводника определим по формуле:

\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (1). \]

μ₀ = 4∙π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.
Определим индукцию в точке А которую создают проводники с токами I₂ и I₄.

\[ \begin{align}
  & {{{\vec{B}}}_{24}}={{{\vec{B}}}_{4}}+{{{\vec{B}}}_{2}},\ Ox:\ {{B}_{24}}={{B}_{2}}+{{B}_{4}}(2),{{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \sin \alpha }(3), \\
 & {{B}_{4}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{4}}}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \sin \alpha }\,(4), \\
 & {{B}_{24}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \sin \alpha }+\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{4}}}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \sin \alpha },{{B}_{24}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot ({{I}_{2}}+{{I}_{4}})}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \sin \alpha }\,(5). \\
\end{align} \]

Определим индукцию в точке А которую создают проводники с токами I₁ и I₃.

\[ \begin{align}
  & {{{\vec{B}}}_{13}}={{{\vec{B}}}_{1}}+{{{\vec{B}}}_{3}},\ Oy:\ {{B}_{13}}={{B}_{1}}-{{B}_{3}}(6),{{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \cos \alpha }(7), \\
 & {{B}_{3}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{3}}}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \cos \alpha }\,(8), \\
 & {{B}_{13}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \cos \alpha }-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{3}}}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \cos \alpha },{{B}_{13}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot ({{I}_{1}}-{{I}_{3}})}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \cos \alpha }\,(9). \\
\end{align} \]

Результирующую магнитную индукцию в точке А определим по теореме Пифагора.

\[ \begin{align}
  & {{{\vec{B}}}_{{}}}={{{\vec{B}}}_{13}}+{{{\vec{B}}}_{24}},\ {{B}^{2}}=B_{13}^{2}+B_{24}^{2},\,B=\sqrt{B_{13}^{2}+B_{24}^{2}}, \\
 & B=\sqrt{{{(\frac{{{\mu }_{0}}\cdot ({{I}_{1}}-{{I}_{3}})}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \cos \alpha })}^{2}}+{{(\frac{{{\mu }_{0}}\cdot ({{I}_{2}}+{{I}_{4}})}{2\cdot \pi \cdot a\cdot \sin \alpha })}^{2}}}=\frac{{{\mu }_{0}}}{2\cdot \pi \cdot a}\cdot \sqrt{{{(\frac{({{I}_{1}}-{{I}_{3}})}{\cos \alpha })}^{2}}+{{(\frac{({{I}_{2}}+{{I}_{4}})}{\sin \alpha })}^{2}}}(10) \\
 & B=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}}{2\cdot \pi \cdot 4\cdot {{10}^{-2}}}\cdot \sqrt{{{(\frac{2-2}{\cos \alpha })}^{2}}+{{(\frac{2+2}{\sin \alpha })}^{2}}}=\frac{2}{\sin \alpha }\cdot {{10}^{-5}}. \\
\end{align} \]