Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено слюдой

[Антон Огурцевич]

1. 69. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено слюдой (ε = 7). Площадь пластин конденсатора составляет 50 см². Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если пластины конденсатора притягивают друг друга с силой 1 мН. Ответ: 4,27 мкКл/м⁴. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определим напряженность поля между пластинами конденсатора.
 Заряд одной пластины конденсатора -q₁, находится в поле действия другой пластины +q₂ (рис).  На первый заряд действует сила которая определяется по формуле:

F = q∙Е₀₁   (1).

Где: Е – напряженность поля создаваемое зарядом одной из пластин.
Напряженность поля равномерно заряженной пластины определяется по формуле:

\[ {{E}_{01}}=\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\ \ \ (2). \]

Где: ε = 7 – диэлектрическая проницаемость слюды, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
σ – поверхностная плотность заряда на пластине конденсатора.
Поверхностная плотность заряда на пластине конденсатора связана с величиной электрического заряда.

\[ \sigma =\frac{q}{S}(3). \]

(3) подставим в (2), из (2) выразим заряд и подставим в (1) определим напряженность поля одной пластины конденсатора.

\[ \begin{align}
  & {{E}_{01}}=\frac{q}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S},q={{E}_{01}}\cdot 2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S,F={{E}_{01}}^{2}\cdot 2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S,{{E}_{01}}=\ \sqrt{\frac{F}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}}\ \ (4). \\
 & {{E}_{01}}=\sqrt{\frac{1\cdot {{10}^{-3}}}{2\cdot 7\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 50\cdot {{10}^{-4}}}}=40177,168. \\
\end{align} \]

Определим напряженность поля между пластинами конденсатора.

Е = 2∙Е₀₁, Е = 2∙40177,168 = 80354,336.

Определим поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике.
Диэлектрическая пластина находится в однородном внешнем электрическом поле, которое создается сторонними зарядами с поверхностной плотностью заряда. Под действием внешнего поля индуцируется связанный заряд с поверхностной плотностью σ. Образование поляризованных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля, направленного против внешнего.

Е = Е₀ – Е₁    (5).

Таким образом, если диэлектрик находится во внешнем поле, то внутри диэлектрика поле ослабляется, но полностью не исчезает.Дополнительное поле, может быть рассчитано как поле плоского конденсатора, на обкладках которого находятся заряды (+q) и (-q).Учитываем, что диэлектрик уже находится в между пластинами. Е₀ – напряженность поля между обкладками конденсатора при отсутствии диэлектрика.

\[ \begin{align}
  & {{E}_{1}}=\frac{{{\sigma }_{1}}}{{{\varepsilon }_{0}}}(6),E={{E}_{0}}-\frac{{{\sigma }_{1}}}{{{\varepsilon }_{0}}}\,(7),{{\sigma }_{1}}={{\varepsilon }_{0}}\cdot ({{E}_{0}}-E)(8),{{E}_{0}}=E\cdot \varepsilon (9), \\
 & \sigma ={{\varepsilon }_{0}}\cdot (E\cdot \varepsilon -E)={{\varepsilon }_{0}}\cdot E\cdot (\varepsilon -1)(10). \\
 & \sigma =8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 80354,336(7-1)=4,266\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 4,27 мкКл/м⁴.