Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом

[Антон Огурцевич]

1. 70. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Определить: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое смещение; 3) напряжённость электростатического поля в стекле; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объёмную плотность энергии электростатического поля в стекле. Ответ: 1) 11,1 мкКл/м²; 2) 11,1 мкКл/м²; 3) 179кВ/м; 4) 9,5 мкКл/м²; 5) 0,992 Дж/м³. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Давление пластин на стекло возросло за счет притяжения пластин конденсатора после его подключения к источнику тока.
1) Определим поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора.
Заряд одной пластины конденсатора -q₁, находится в поле действия другой пластины +q₂ (рис).  На первый заряд действует сила которая определяется по формуле:

F = q∙Е   (1).

Где: Е – напряженность поля создаваемое зарядом одной из пластин.Напряженность поля равномерно заряженной плоскости определяется по формуле:

\[ E=\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\ \ \ (2). \]

Где: ε = 7 – диэлектрическая проницаемость стекла, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
σ – поверхностная плотность заряда на пластине конденсатора.Поверхностная плотность заряда на пластине конденсатора связана с величиной электрического заряда.

\[ \sigma =\frac{q}{S},q=\sigma \cdot S(3). \]

Давление пластин на стекло определим по формуле.

\[ \begin{align}
  & p=\frac{F}{S},F=p\cdot S(4).p\cdot S=\sigma \cdot S\cdot \frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}},\sigma =\sqrt{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot p}(5). \\
 & \sigma =\sqrt{2\cdot 7\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=11,13\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

2). Определим электрическое смещение.

\[ D=\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot E(1),E=\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\ \ \ (2),D=\sigma .D=11,13\cdot {{10}^{-6}}.
 \]

3). Определим напряжённость электростатического поля в стекле.

\[ E=\frac{\sigma }{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\ \ \ (1).E=\frac{11,13\cdot {{10}^{-6}}}{7\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=179,66\cdot {{10}^{3}}.

 \]

4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.
Диэлектрическая пластина находится в однородном внешнем электрическом поле, которое создается сторонними зарядами с поверхностной плотностью заряда. Под действием внешнего поля индуцируется связанный заряд с поверхностной плотностью σ. Образование поляризованных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля, направленного против внешнего.

Е = Е₀ – Е₁    (1).

Таким образом, если диэлектрик находится во внешнем поле, то внутри диэлектрика поле ослабляется, но полностью не исчезает.
Дополнительное поле, может быть рассчитано как поле плоского конденсатора, на обкладках которого находятся заряды (+q) и (-q).
Учитываем, что диэлектрик уже находится в между пластинами.
Е₀ – напряженность поля между обкладками конденсатора при отсутствии диэлектрика.

\[ \begin{align}
  & {{E}_{1}}=\frac{{{\sigma }_{1}}}{{{\varepsilon }_{0}}}(2),E={{E}_{0}}-\frac{{{\sigma }_{1}}}{{{\varepsilon }_{0}}}(3),{{\sigma }_{1}}={{\varepsilon }_{0}}\cdot ({{E}_{0}}-E)(4),{{E}_{0}}=E\cdot \varepsilon (5), \\
 & \sigma ={{\varepsilon }_{0}}\cdot (E\cdot \varepsilon -E)={{\varepsilon }_{0}}\cdot E\cdot (\varepsilon -1)(6). \\
 & \sigma =8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 179,66\cdot {{10}^{3}}\cdot (7-1)=9,54\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align}
 \]

5) объёмную плотность энергии электростатического поля в стекле.

\[ w=\frac{1}{2}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}(1\,).\,w=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot {{(179,66\cdot {{10}^{3}})}^{2}}=0,999.
 \]

Ответ: 1) 11,1 мкКл/м²; 2) 11,1 мкКл/м²; 3) 179 кВ/м; 4) 9,5 мкКл/м²; 5) 0,992 Дж/м³.