Определить индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки

[Антон Огурцевич]

4. 7.   Определить индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной d = 15 см, если по рамке течёт ток I =5 А. Ответ: 37,7 мкТл. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи необходимы: μ₀ = 4∙π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная. 
Рассмотрим четыре участка, АВ, ВС, СД, ДА.
Направление вектора магнитной индукции на каждом участке определим по правилу буравчика. В точке О результирующий вектор магнитной индукции направлен от нас. Применим принцип суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DA}},\  \\
 & Ox:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DA}}\ \ \ (1). \\
\end{align}
 \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ.
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha ,} \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Где: R - расстояние от т. О до проводника; – α₁ и α₂ углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Определим модуль вектора магнитной индукции на каждом участке.
α₂ = 3∙π/4, α₁ =  π/ 4.

\[ \begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{3\cdot \pi }{4})\ ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})\ , \\
 & {{B}_{BC}}={{B}_{DA}}={{B}_{CD}}={{B}_{AB}}=\frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (5),R=\frac{d}{2}\ \ \ (6), \\
 & B=4\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot d},\ B=2\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot d}\ \ \ (7). \\
 & B=\frac{2\cdot \sqrt{2}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 5}{\pi \cdot 0,15}=37,6\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ 9,43 мкТ получается если бы квадрат был изготовлен из проволоки длиной 15 см.
Ответ: В = 37,6∙10^-6 Тл.