Два заряженных одинаковых маленьких шарика

[Антон Огурцевич]

7. Два заряженных одинаковых маленьких шарика подвешены на длинных непроводящих нитях и находятся в керосине. Определить относительную диэлектрическую проницаемость керосина, если в воздухе нити расходятся на такой же угол, как и в керосине. Плотность керосина 800 кг/м³, плотность шариков 1600 кг/м³. (2). Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1). Рассмотрим случай когда шарики находятся в воздухе (рис 4а).
Покажем силы, которые действуют на один из шариков. Шарик находится в покое, значит, равнодействующая всех сил равна нулю.

\[ {{\vec{F}}_{n}}+{{\vec{F}}_{K}}+m\cdot \vec{g}=0. \]

Найдем проекции на оси Ох и Оу:

\[  Ox:{{F}_{n}}\cdot \sin \alpha -{{F}_{K}}=0\ \ \ (1),Oy:{{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (2),{{F}_{K}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}}\ \ \ (3). \]

(3) подставим в (1) из (1) выразим F_n, подставим в (2) и выразим тангенс угла расхождения нитей в воздухе:

\[ \begin{align}
  & {{F}_{n}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }\ \ (4),\frac{k\cdot {{q}^{2}}\cdot \cos \alpha }{{{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }=m\cdot g,tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot m\cdot g}(5). \\
 & m=\rho \cdot V,tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot \rho \cdot V\cdot g}(6). \\
\end{align} \]

2). Рассмотрим случай когда шарики находятся в керосине (рис 4б).
Покажем силы, которые действуют на один из шариков. Шарик находится в покое, значит, равнодействующая всех сил равна нулю.

\[ {{\vec{F}}_{n}}+{{\vec{F}}_{K}}+m\cdot \vec{g}+{{\vec{F}}_{A}}=0. \]

Найдем проекции на оси Ох и Оу:

\[  \begin{align}
  & Ox:{{F}_{n}}\cdot \sin \alpha -{{F}_{K}}=0\ \ \ (7),Oy:{{F}_{A}}+{{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (8),{{F}_{K}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}}\ \ \ (9). \\
 & {{F}_{A}}={{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V(10). \\
\end{align} \]

(9) подставим в (7) из (7) выразим F_n, подставим в (2) и выразим тангенс угла расхождения нитей в керосине:

\[ \begin{align}
  & {{F}_{n}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }\ \ (11),{{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V+\frac{k\cdot {{q}^{2}}\cdot \cos \alpha }{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }=m\cdot g,m=\rho \cdot V, \\
 & \frac{k\cdot {{q}^{2}}\cdot \cos \alpha }{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }=\rho \cdot V\cdot g-{{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V,tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot (\rho \cdot V\cdot g-{{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V)}(12). \\
\end{align} \]

Прировняем (6) и (12) выразим относительную диэлектрическую проницаемость керосина.

\[ \begin{align}
  & \frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot \rho \cdot V\cdot g}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot (\rho \cdot V\cdot g-{{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V)},\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\varepsilon \cdot (\rho -{{\rho }_{K}})},\varepsilon \cdot \rho -\varepsilon \cdot {{\rho }_{K}}=\rho , \\
 &  \varepsilon =\frac{\rho }{\rho -{{\rho }_{K}}}(14).\varepsilon =\frac{1600}{1600-800}=2. \\
\end{align} \]

Ответ: 2.