Прямоугольная рамка со сторонами

[Антон Огурцевич]

4. 19. Прямоугольная рамка со сторонами d = 40 см и b = 30 см расположена в одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с током I = 6 А так, что длинные стороны рамки параллельны проводу. Сила тока в рамке I₁ = 1 А. Определить силы, действующие на каждую из сторон рамки, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии с = 10 см, а ток в ней сонаправлен току I. Ответ: F₁= 4,8 мкН, F₂ = F₄ = 1,66 мкН, F₃ = 1,2 мкН. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Вокруг каждого проводника с током существует магнитное поле. Индукция магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током на расстоянии R равна:

\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (1).
 \]

μ₀ = 4∙π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.
Направление линий магнитной индукции, создаваемые бесконечно длинным тонким проводником с током в точке определим по правилу буравчика или по правилу правой руки.
Определим силы, действующие на ближайшую к проводу и параллельную проводу сторону рамки, которая находится на расстоянии с = 10 см, и на дальнюю сторону и параллельную проводу сторону рамки, которая  находится на расстоянии с + b = (10 + 30) см
Ближний и дальний провод рамки с током находится в магнитном поле первого проводника, на его действует сила Ампера. Направление воздействия силы Ампера на проводник с током определяем по правилу левой руки так: если расположить левую руку так, чтобы силовые вектора магнитной индукции были направлены в ладонь, а пальцы ладони были вытянуты по направлению тока, то отведенный под 90 градусов большой палец укажет направление силы Ампера.
Сила Ампера определяется по формуле:

\[ \begin{align}
  & {{F}_{A}}={{I}_{2}}\cdot {{B}_{1}}\cdot \Delta l\cdot \sin \alpha ,\alpha =\frac{\pi }{2}\ ,\ \sin \alpha =1,{{F}_{A}}={{I}_{2}}\cdot {{B}_{1}}\cdot \Delta l(2), \\
 & {{F}_{A}}={{I}_{2}}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot R}\cdot \Delta l(3). \\
 & {{F}_{A1}}={{I}_{2}}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot c}\cdot d,{{F}_{A1}}=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 6\cdot 1\cdot 0,4}{2\cdot \pi \cdot 0,1}=48\cdot {{10}^{-7}}. \\
 & {{F}_{A3}}={{I}_{2}}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot (c+b)}\cdot d,{{F}_{A3}}=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 6\cdot 1\cdot 0,4}{2\cdot \pi \cdot (0,1+0,3)}=12\cdot {{10}^{-7}}. \\
\end{align} \]

Определим силы, действующие на боковые стороны рамки.

\[ \begin{align}
  & {{F}_{A}}_{2}=\int\limits_{c}^{c+b}{\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot r}\cdot dl}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi }\cdot \left. \ln r \right|_{c}^{c+b}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi }\cdot (\ln (c+b)-\ln c)= \\
 & =\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi }\cdot \ln \frac{(c+b)}{c}. \\
 & {{F}_{A2}}=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 6\cdot 1}{2\cdot \pi }\cdot \ln \frac{0,1+0,3}{0,1}=16,6\cdot {{10}^{-7}}. \\
\end{align} \]

Ответ: F₁= 4,8 мкН, F₂ = F₄ = 1,66 мкН, F₃ = 1,2 мкН.