Решение. Градиентом функции
u = f(x,y, z) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции
\[ \begin{align}
& gradu=\frac{du}{dx}\vec{i}+\frac{du}{dy}\vec{j}+\frac{du}{dz}\vec{k}. \\
& \frac{du}{dx}=(x\cdot y-\frac{x}{z})_{x}^{'}=y-\frac{1}{z},\frac{du}{dy}=(x\cdot y-\frac{x}{z})_{y}^{'}=x,\frac{du}{dz}=(x\cdot y-\frac{x}{z})_{z}^{'}=-(-x\cdot {{z}^{-2}})=\frac{x}{{{z}^{2}}}. \\
& gradu=(y-\frac{1}{z})\vec{i}+x\vec{j}+\frac{x}{{{z}^{2}}}\vec{k},x=-4,y=3,z=-1. \\
& gradu=(3-\frac{1}{-1})\vec{i}+(-4)\vec{j}+\frac{-4}{{{(-1)}^{2}}}\vec{k}, \\
& gradu=4\vec{i}-4\vec{j}-4\vec{k}. \\
\end{align} \]
Модуль градиента функции определим по формуле
\[ \begin{align}
& \left| gradu \right|=\sqrt{{{(\frac{du}{dx})}^{2}}+{{(\frac{du}{dy})}^{2}}+{{(\frac{du}{dz})}^{2}}}. \\
& \left| gradu \right|=\sqrt{{{(4)}^{2}}+{{(-4)}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}=4\sqrt{3}=9,8. \\
\end{align}
\]
