Тело скользит с наклонной плоскости высотой

[Антон Огурцевич]

2.33. Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона α к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всём пути постоянным и равным μ, определите расстояние s, пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки. Сделать рисунок.

[Сергей]

Покажем рисунок.
 При наличии сопротивления закон сохранения энергии в замкнутой системе не соблюдается. Полная начальная энергия тела равна потенциальной энергии в точке А, полная конечная энергия в точке С равна нулю. Вся механическая энергия перейдет во внутреннюю энергию.

Е_А + А₁ + А₂ = 0   (1).

А₁ – работа силы трения на участке АВ, А₂ – работа силы трения на участке ВС.

Е_А = m∙g∙h   (2), А₁ = F_T1∙s₁∙соsβ₁    (3), А₂ = F_T2∙s∙соsβ₂    (4),
β₁ = β₂ = 180°, соs180° = -1 .

Определим работу силы трения на участке АВ. Запишем второй закон Ньютона, найдем проекции на ось Оу, найдем силу трения на участке АВ.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{1}},\ {{{\vec{F}}}_{Tp1}}+{{{\vec{N}}}_{1}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{1}}, \\
 & Oy:\ {{N}_{1}}-m\cdot g\cdot \cos \alpha =0,\ {{N}_{1}}=m\cdot g\cdot \cos \alpha ,\  \\
 & {{F}_{Tp1}}=\mu \cdot {{N}_{1}},\ {{F}_{Tp1}}=\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha \ \ \ (5),\ {{s}_{1}}=\frac{h}{sin\alpha }(6), \\
 & {{A}_{1}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha \cdot \frac{h}{\sin \alpha },\ {{A}_{1}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot h\cdot ctg\alpha \ \ \ (7). \\
\end{align} \]

Определим работу силы трения на участке ВС. Запишем второй закон Ньютона, найдем проекции на ось Оу, найдем силу трения на участке ВС.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ {{{\vec{F}}}_{Tp2}}+{{{\vec{N}}}_{2}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{2}}, \\
 & Oy:\ {{N}_{2}}-m\cdot g=0,\ {{N}_{2}}=m\cdot g,\ {{F}_{Tp2}}=\mu \cdot {{N}_{2}},\ {{F}_{Tp2}}=\mu \cdot m\cdot g\ \ \ (8),\  \\
 & {{A}_{2}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot s\ \ \ (9). \\
\end{align} \]

(7) (9) и (2) подставим в (1) определим путь s от основания горы пройденный телом до остановки.

\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot h-\mu \cdot m\cdot g\cdot h\cdot ctg\alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot s=0,\ \ h-\mu \cdot h\cdot ctg\alpha =\mu \cdot s,\ s=\frac{h-\mu \cdot h\cdot ctg\alpha }{\mu }. \\
 & s=\frac{h\cdot (1-\mu \cdot ctg\alpha )}{\mu }. \\
\end{align} \]