Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью

[Антон Огурцевич]

3-12. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью υ(вектор) (t) = (i(вектор) - j(вектор))∙A  и с ускорением, которое зависит от времени по закону a(t)(вектор) = j(вектор)∙B∙(t/т)³. Каков модуль скорости частицы в момент времени t = т = 1 с, если А = 1 м/с, В =1 м/с². Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определим модуль начальной скорости.

\[ {{\vec{\upsilon }}_{0}}(t)=\vec{i}\cdot A-\vec{j}\cdot A.{{\upsilon }_{0}}=\sqrt{{{A}^{2}}+{{(-A)}^{2}}}.{{\upsilon }_{0}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}=\sqrt{2}. \]

Определим модуль скорости.

\[ \begin{align}
  & \vec{a}(t)=\vec{j}\cdot B\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{3}},a=B\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{3}}. \\
 & \upsilon ={{\upsilon }_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{B\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{3}}}dt={{\upsilon }_{0}}+\left. B\cdot {{(\frac{1}{\tau })}^{3}}\cdot \frac{1}{4}\cdot {{t}^{4}} \right|_{0}^{t}={{\upsilon }_{0}}+B\cdot {{(\frac{1}{\tau })}^{3}}\cdot \frac{1}{4}\cdot {{t}^{4}}. \\
 & \upsilon =\sqrt{2}+1\cdot {{(\frac{1}{1})}^{3}}\cdot \frac{1}{4}\cdot {{1}^{4}}=1,66. \\
\end{align} \]

Ответ: 1,66 м/с.