Решение.
Кинетическая энергия тела определяется по формуле:
\[ W=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\,(1). \]
Для нахождения скорости возьмем первую производную по времени от
s:
\[ \begin{align}
& \upsilon =s'=(0,20\cdot \sin (10\cdot \pi \cdot t+\frac{\pi }{2})'=0,20\cdot 10\cdot \pi \cdot \cos (10\cdot \pi \cdot t+\frac{\pi }{2})\ = \\
& =2\cdot \pi \cdot \cos (10\cdot \pi \cdot t+\frac{\pi }{2})=-2\cdot \pi \cdot sin(10\cdot \pi \cdot t)\ \ (2). \\
\end{align} \]
Определим значение времени если кинетическая энергия тела 2 Дж и 1 Дж.
\[ \begin{align}
& W=\frac{m\cdot {{(-1)}^{2}}\cdot {{(2\cdot \pi \cdot sin(10\cdot \pi \cdot t))}^{2}}}{2}=\frac{m\cdot {{(2\cdot \pi \cdot sin(10\cdot \pi \cdot t))}^{2}}}{2}, \\
& 2=\frac{0,1\cdot {{(2\cdot \pi )}^{2}}}{2}\cdot (sin{{(10\cdot \pi \cdot t)}^{2}},\frac{4}{0,1\cdot {{(2\cdot \pi )}^{2}}}={{(sin(10\cdot \pi \cdot t))}^{2}}, \\
& \sqrt{\frac{4}{0,1\cdot {{(2\cdot \pi )}^{2}}}}=sin(10\cdot \pi \cdot t),\sin (10\cdot \pi \cdot t)=1, \\
& 10\cdot \pi \cdot t={{(-1)}^{k}}\cdot \arcsin 1+\pi \cdot k,10\cdot \pi \cdot t={{(-1)}^{k}}\cdot \frac{\pi }{2}+\pi \cdot k, \\
& k=0,10\cdot \pi \cdot t=\frac{\pi }{2},{{t}_{1}}=\frac{1}{20}(3). \\
& 1=\frac{0,1\cdot {{(2\cdot \pi )}^{2}}}{2}\cdot (sin{{(10\cdot \pi \cdot t)}^{2}},\frac{2}{0,1\cdot {{(2\cdot \pi )}^{2}}}={{(sin(10\cdot \pi \cdot t))}^{2}}, \\
& \sqrt{\frac{2}{0,1\cdot {{(2\cdot \pi )}^{2}}}}=sin(10\cdot \pi \cdot t),\frac{1}{2}=\sin (10\cdot \pi \cdot t), \\
& 10\cdot \pi \cdot t={{(-1)}^{k}}\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi \cdot k,10\cdot \pi \cdot t={{(-1)}^{k}}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi \cdot k, \\
& k=0,10\cdot \pi \cdot t=\frac{\pi }{6},{{t}_{2}}=\frac{1}{60}(4). \\
& \Delta t={{t}_{1}}-{{t}_{2}}\,(5),\Delta t=\frac{1}{20}-\frac{1}{60}=\frac{60-20}{1200}=\frac{1}{30}=0,033333. \\
\end{align}
\]
Ответ: ∆t = 0,033333 с.
