Три одинаковых заряженных воздушных конденсатора

[Антон Огурцевич]

3. Три одинаковых заряженных воздушных конденсатора соединены последовательно. После полного заполения двух из них одним и тем же диэлектриком ёмкость системы увеличилась в два раза. Найдите диэлектрическую проницаемость этого диэлектрика. Сделать рисунок.

[Decay_Dance]

Нам дано:
\[ C_{1}=C_{2}=C_{3}; C_{1}^{'}=C_{2}^{'}; C^{'}=2\cdot C; \varepsilon _{1r}=1 \]
Найти необходимо диэлектрическую проницаемость диэлектрика (абсолютную и относительную). ε_2a, ε_2r - ?
При последовательном подключении трёх одинаковых конденсаторов, их общая ёмкость будет равна:
\[ \frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{1}}=\frac{3}{C_{1}} \]
После заполнения 2-х конденсаторов неким диэлектриком, их общая ёмкость станет равна:
\[ \frac{1}{C^{'}}=\frac{1}{2 \cdot C}=\frac{1}{C_{1}^{'}}+\frac{1}{C_{2}^{'}}+\frac{1}{C_{3}}=\frac{1}{C_{1}^{'}}+\frac{1}{C_{1}^{'}}+\frac{1}{C_{1}}=\frac{2}{C_{1}^{'}}+\frac{1}{C_{1}} \]
Немного преобразуем:
\[ \frac{1}{C}=\frac{4}{C_{1}^{'}}+\frac{2}{C_{1}} \]
Приравниваем правые части уравнений:
\[ \frac{3}{C_{1}}=\frac{4}{C_{1}^{'}}+\frac{2}{C_{1}} \rightarrow \frac{1}{C_{1}}=\frac{4}{C_{1}^{'}} \rightarrow C_{1}^{'}=4\cdot C_{1} () \]
Электрическую ёмкость конденсаторов C¹ и C'₁можно найти, используя следующие формулы:
\[ C_{1}=\frac{\varepsilon _{1r}\cdot \varepsilon _{0}\cdot S}{d}=\frac{\varepsilon _{0}\cdot S}{d};C'_{1}=\frac{\varepsilon _{2r}\cdot \varepsilon _{0}\cdot S}{d} (2) \]
Подставляем уравнения (2) в уравнение (1) и выражаем  ε_2r:
\[ 4\cdot \frac{\varepsilon _{0}\cdot S}{d}=\frac{\varepsilon _{2r}\cdot \varepsilon _{0}\cdot S}{d} \rightarrow \varepsilon _{2r}=4 \]
Вычислим абсолютную диэлектрическую проницаемость:
\[ \varepsilon _{2a}=\varepsilon _{2r}\cdot \varepsilon _{0}=4\cdot 8,85\cdot 10^{-12}=35,4\cdot 10^{-12}=3,54\cdot 10^{-11} \]
Ответ:
ε_2a =  3,54·10^-11 (Ф/м);  ε_2r = 4.