Определить работу, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку

[Антон Огурцевич]

317. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому идёт ток силы I₁ = 4 A, расположена прямоугольная рамка (20×10 см²), по которой течёт ток силы I₂ = 0,5 A. Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причём ближайшая находится от него на расстоянии x₀ = 6 см, ток в ней сонаправлен току I₁. Определить работу, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку на угол α = π вокруг дальней длинной стороны. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи необходимы: μ − магнитная проницаемость среды, μ₀ = 4π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная. Для вакуума μ =1.
Запишем формулу для определения работы, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку на угол α = π вокруг дальней длинной стороны.

А = I₂∙∆Ф    (1).

∆Ф – изменение магнитного потока.

∆Ф = ∆В∙S∙(соsα₂ – соsα₁)    (2).
α₂ = π, α₁ = 0.

Магнитная индукция создаваемая проводником с током на расстоянии х от проводника определим по формуле:

\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot x}(3). \]

Определим изменение магнитной индукции при повороте рамки:

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot x}\cdot dx,\Delta B=\int\limits_{x}^{x+2\cdot a}{\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot x}\cdot dx}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi }\int\limits_{x}^{x+2\cdot a}{\frac{dx}{x}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi }\cdot \ln \frac{x+2\cdot a}{x}(4). \\
 & A={{I}_{2}}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi }\cdot \ln \frac{x+2\cdot a}{x}\cdot b\cdot a\cdot (\cos \pi -\cos 0)(5). \\
 & A=0,5\cdot \frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 4}{2\cdot \pi }\cdot \ln \frac{0,06+2\cdot 0,1}{0,06}\cdot 0,2\cdot 0,1\cdot (-1-1)=0,469\cdot {{10}^{-7}}. \\
 &  \\
\end{align}
 \]

Ответ: 0,469∙10^-7 Дж.