Определите момент импульса первого спутника как функцию

[Антон Огурцевич]

Два небольших искусственных спутника равной массой вращаются вокруг Земли по круговым орбитам. Расстояние спутников от поверхности Земли равно соответственно R₁ и R₂. Определите момент импульса первого спутника как функцию (m, M_З, G и R_З). Сделать рисунок.
Ответ: \[ {L}_{1}={m}\cdot{\sqrt{{G}\cdot{M}_{З}\cdot({R}_{З}+{R}_{1})}} \]

[Алекса]

Момент импульса первого спутника равен  \[ \overrightarrow{L}=\left[\overrightarrow{r},\overrightarrow{p}\right] \left(1\right),  \]
где

\[ \overrightarrow{r}-   \]

радиус-вектор спутника относительно центра Земли,

\[ \overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}-  \]

импульс спутника. Модуль радиус-вектора равен r = R_з + R₁. Угол между скоростью v и радиус-вектором r равен 90°.
Поэтому модуль момента импульса спутника относительно Земли запишется в виде: \[  L= mrv . \]
Движение по окружности возможно под действием силы тяготения, равной \[  \frac{GMm}{r^{2}},  \]которая создаёт центростремительное ускорение\[  a=\frac{v^{2}}{r}.  \]
Приравнивая это ускорение к ускорению  \[  \frac{GM}{r^{2}},  \] получаем выражение для скорости спутника: \[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}  \].
Подставив выражения для радиус-вектора r и скорости v в (1) получим
\[  L = m\sqrt{GM_{з}\left(R_{з}+R_{1}\right)}. \]