Решение. По условию задачи материальная точка движется вдоль прямой так, что её ускорение линейно зависит от времени, покажем данную зависимость
а = а0 + α∙t, а0 = 0, а = α∙t (1).
Ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём однократного дифференцирования по времени вектора скорости материальной точки (или двукратного дифференцирования радиус-вектора):
\[ \begin{align}
& a=\frac{d\upsilon }{dt}=\frac{{{d}^{2}}r}{dt}. \\
& \upsilon (t)=\int\limits_{0}^{t}{a(t)dt=}\int\limits_{0}^{t}{\alpha \cdot tdt=}\left. \frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot {{t}^{2}} \right|_{0}^{t}=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot {{t}^{2}}=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot t\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t.\, \\
& \upsilon (10)=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10=25. \\
& s(t)=\int\limits_{0}^{t}{\upsilon (t)dt=}\int\limits_{0}^{t}{\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot {{t}^{2}}dt=}\left. \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \alpha \cdot {{t}^{3}} \right|_{0}^{t}=\frac{1}{6}\cdot \alpha \cdot {{t}^{3}}=\frac{1}{6}\cdot \alpha \cdot t\cdot {{t}^{2}}=\frac{1}{6}\cdot a\cdot {{t}^{2}}. \\
& s(10)=\frac{1}{6}\cdot 5\cdot {{10}^{2}}=83,33. \\
\end{align}
\]
Ответ: 25 м/с, 83,33 м.
