Движение камня вниз является равноускоренным с ускорением свободного падения g, после удара его о поверхность воды, звук движется равномерно.
Пройденный путь вниз и вверх равны
\[ \begin{align}
& {{h}_{\downarrow }}=\frac{gt_{1}^{2}}{2},(1) \\
& {{h}_{\uparrow }}=\upsilon {{t}_{2}},(2) \\
\end{align} \]
Время полета
Из (1) и (2) найдем время t1 и t2 и подставим в t3
\[ \begin{align}
& t_{1}^{{}}=\sqrt{\frac{2{{h}_{\downarrow }}}{g}}(4) \\
& {{t}_{2}}=\frac{{{h}_{\uparrow }}}{\upsilon },(5) \\
& t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{\upsilon },(6) \\
\end{align} \]
Что бы решить уравнение (6) воспользуемся заменой:
\[ \begin{align}
& \sqrt{h}=y,h={{y}^{2}}.(7) \\
& t=y\sqrt{\frac{2}{g}}+\frac{{{y}^{2}}}{\upsilon }, \\
& \frac{{{y}^{2}}}{\upsilon }+y\sqrt{\frac{2}{g}}-t=0, \\
& \frac{{{y}^{2}}}{330}+y\sqrt{\frac{2}{10}}-5=0, \\
& {{y}^{2}}+148y-1650=0, \\
& D={{b}^{2}}-4ac={{148}^{2}}-4\cdot (-1650)=21904+6600=28504, \\
& \sqrt{D}=\sqrt{28504}\approx 168,8. \\
& {{y}_{12}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-148\pm 168,8}{2}, \\
& {{y}_{1}}=10,42 \\
& {{y}_{2}}=-158,4 \\
\end{align} \]
По условию нашей замены (7) y не может быть отрицательным . Поэтому \[ h=y_{1}^{2}={{10,42}^{2}}=108,6 м \]
Ответ: 108,6 м.
