Решение.
Пусть стержень покоится в инерциальной системе отсчёта
K и расстояние между концами стержня, измеренное в
К («собственная» длина стержня), равно
L0. Пусть далее стержень движется вдоль своей длины со скоростью υ относительно некой другой (инерциальной) системы отсчёта
K'. В таком случае расстояние
L между концами стержня, измеренное в системе отсчета
K', составит
\[ L={{L}_{0}}\cdot \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}(1). \]
Стержень движется относительно оси
Ох, сокращение длины произойдет только относительно этой оси (рис). Определим длину стержня и угол φ в системе
K'\[ \begin{align}
& \frac{{{L}_{0x}}}{{{L}_{0}}}=\cos {{\varphi }_{0}},{{L}_{0x}}={{L}_{0}}\cdot \cos {{\varphi }_{0}},{{L}_{x}}={{L}_{0x}}\cdot \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}},{{L}_{x}}={{L}_{0}}\cdot \cos {{\varphi }_{0}}\cdot \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}(2), \\
& \frac{{{L}_{y}}}{{{L}_{0}}}=sin{{\varphi }_{0}},{{L}_{y}}={{L}_{0}}\cdot sin{{\varphi }_{0}}(3). \\
& {{L}^{2}}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2},L=\sqrt{L_{x}^{2}+L_{y}^{2}},L=\sqrt{{{({{L}_{0}}\cdot \cos {{\varphi }_{0}}\cdot \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}})}^{2}}+{{({{L}_{0}}\cdot sin{{\varphi }_{0}})}^{2}}}(4). \\
& L=\sqrt{{{(1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{{{(0,8\cdot c)}^{2}}}{{{c}^{2}}}})}^{2}}+{{(1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}}=0,825. \\
& tg\varphi =\frac{{{L}_{y}}}{{{L}_{x}}},tg\varphi =\frac{{{L}_{0}}\cdot sin{{\varphi }_{0}}}{{{L}_{0}}\cdot \cos {{\varphi }_{0}}\cdot \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}},tg\varphi =\frac{sin{{\varphi }_{0}}}{\cos {{\varphi }_{0}}\cdot \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}(5). \\
& tg\varphi =\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{{{(0,8\cdot c)}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-{{0,8}^{2}}}}=1,67.\varphi ={{59}^{0}}. \\
\end{align}
\]
Ответ: 0,825 м, 59º.
