Какое количество балласта нужно выбросить?

[Антон Огурцевич]

118. Воздушный шар массой 160 кг опускается с постоянной скоростью. Какое количество балласта нужно выбросить, чтобы шар поднимался с той же скоростью? Подъёмная сила воздушного шара равна 1372 Н. Ответ: 45,6 кг. Сделать рисунок.

[Gala]

что-то мне условие не нравится. скорее всего дана сила Архимеда, а не подъемная сила. если решать по условию, то масса шара вообще не нужна.
Тело движется с постоянной скоростью, когда равнодействующая сил, действующих на него, рана нулю. На шар действуют сила тяжести, направленная вертикально вниз, сила Архимеда – вертикально вверх  и сила сопротивления воздуха, направленная вертикально вверх при движении вниз (рис.1) и вертикально вниз при движении вверх (рис.2).
Второй закон Ньютона в проекциях на направление движения для обоих случаев:
 
\[ \begin{gathered}
  mg - {F_A} - {F_c} = 0 \hfill \\
  {F_A} - \left( {m - \Delta m} \right)g - {F_c} = 0. \hfill \\
\end{gathered}  \]
Подъемная сила воздушного шара равна разности силы Архимеда и силы тяжести: \[ F = {F_A} - mg. \]
Учитываем это в уравнениях:
\[ \left\{ \begin{gathered}
   - \left( {{F_A} - mg} \right) - {F_c} = 0 \hfill \\
  \left( {{F_A} - mg} \right) - \Delta mg - {F_c} = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \]
\[ \left\{ \begin{gathered}
   - F - {F_c} = 0 \hfill \\
  F - \Delta mg - {F_c} = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \]
\[ \left\{ \begin{gathered}
   - F = {F_c} \hfill \\
  F - \Delta mg - \left( { - F} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \]
\[F - \Delta mg + F = 0\]
\[\Delta m = \frac{{2F}}{g} = \frac{{2 \cdot 1372}}{{10}} = 274,4\]
274 кг - это явно перебор. и масса шара - ни к чему.

[Антон Огурцевич]

При спуске с постоянной скоростью сумма сил, действующих на шар, равна нулю:
\[ {M}\cdot{g}-{Q}-{F} = {O} \], где F - сила сопротивления движению шара. При подъёме шара сила сопротивления по-прежнему равна, так как согласно условию задачи скорость постоянна, но теперь эта сила направлена вниз.
Сумма всех сил с учётом уменьшения массы за счёт выброшенного балласта по-прежнему равна нулю:
\[ {(M-m)}\cdot{g}-{Q}+{F} = {O} \]. Исключая из этих уравнений
, найдем \[ m = {2}\cdot{(M-\frac{Q}{g})} \].
\[ m = {2}\cdot{(160-\frac{1372}{10})}={45,6} \]
274 кг - это явно перебор, я полностью согласен с этим. Это балласт превышает вес шара, такое быть не может.
Сила Архимеда при сбросе балласта почти не меняется, так как она пропорциональна объёму, а объём балласта очень мал.
Галина у Вас неправильно составлены уравнения для обоих случаев)

[alsak]

1. Мои решения дают такой же ответ, как у Gala. Это говорит о том, что масса шара 160 кг – это масса только оболочки шара с газом. Есть еще корзина и грузом, масса которых может превышать массу шара. Тогда в решении Gala масса m ≠ 160 кг (но это на ответ не влияет).
2. Решение Антона для задачи, в которой задана не подъемная сила, а архимедова сила. Решение взято из сборника Бендриков Г.А., Буховцев Б.Б. № 90 (автор путает архимедову силу с подъемной, в этом сборнике встречаются подобные ошибки). Похожая задача (с архимедовой силой) уже решена на форуме.

[Gala]

ну вот со всеми комментариями.
 Тело движется с постоянной скоростью, когда равнодействующая сил, действующих на него, рана нулю. На шар действуют сила тяжести, направленная вертикально вниз, сила Архимеда – вертикально вверх  и сила сопротивления воздуха, направленная вертикально вверх при движении вниз (рис.1) и вертикально вниз при движении вверх (рис.2). Второй закон Ньютона в проекциях на направление движения для обоих случаев:
mg − F_A − F_c = 0
F_A − (m − Δm)g − F_c = 0.
Подъемная сила воздушного шара равна разности силы Архимеда и силы тяжести:
F = F_A − mg.
Согласно условию условии задачи, mg = 1600 Н.
Подъемная сила F = 1372 Н, тогда F_A = 1600 + 1372= 1972 Н, т.е. больше силы тяжести, а если еще учесть силу сопротивления воздуха, направленную вверх при движении шара вниз, то равнодействующая будет направлена вертикально вверх и никак шар не сможет двигаться с постоянной скоростью вниз. Таким образом, будем считать, что 1372 Н – это значение силы Архимеда. Тогда такой полет возможен.
\[ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  mg - {F_A} - {F_c} = 0\;\;\;\; \Rightarrow {F_c} = mg - {F_A} \hfill \\
  {F_A} - \left( {m - \Delta m} \right)g - \left( {mg - {F_A}} \right) = 0\;\; \Rightarrow 2{F_A} - 2mg + \Delta mg = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  \Delta m = \frac{{2mg - 2{F_A}}}{g} = \frac{{2 \cdot 1600 - 2 \cdot 1372}}{{10}} = 45,6\;кг. \hfill \\
\end{gathered}  \]
Ответ: 45,6 кг