Определить разность потенциалов двух точек этого поля

[Антон Огурцевич]

47. Электрическое поле создано длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях a₁ = 0,5 см и a₂ = 2 см от нити в её средней части. Сделать рисунок.

[Gala]

Поле, созданное длинной, равномерно заряженной нитью обладает осевой симметрией и разность потенциалов и напряженность связаны соотношением: \[\vec E =  - grad\varphi ,\;\left| {grad\varphi } \right| = E,\;\;\frac{{d\varphi }}{{dr}} = E \Rightarrow d\varphi  = Edr.\]
Поле, создаваемое длинной нитью неоднородно и его напряженность зависит от расстояния от нити:\[ E = \frac{\tau }{{2\pi {\varepsilon _0}r}}. \]  ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м - электрическая постоянная. Тогда разность потенциалов: \[ \begin{gathered}
  d\varphi  =  - \frac{\tau }{{2\pi {\varepsilon _0}r}}dr \hfill \\
  \Delta \varphi  = \int\limits_{{a_1}}^{{a_2}} {\frac{\tau }{{2\pi {\varepsilon _0}r}}dr = } \frac{\tau }{{2\pi {\varepsilon _0}}}\left. {\ln r} \right|_{{a_1}}^{{a_2}} = \frac{\tau }{{2\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{{a_2}}}{{{a_1}}}. \hfill \\
  \Delta \varphi  = \frac{{20 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{{2 \cdot 3,14 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}}}\ln \frac{{2 \cdot {{10}^{ - 2}}}}{{0,5 \cdot {{10}^{ - 2}}}} = 499\;B. \hfill \\
\end{gathered} \]
Ответ: 499 В.