Нормальное ускорение точки

[Антон Огурцевич]

18. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом 4 м, задаётся уравнением a_n = A + B∙t +C∙t² (A = 1 м/с², B = 6 м/с³, C = 9 м/с⁴). Определите: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за 5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени 1 с. Сделать рисунок.

[Gala]

Тангенциальное ускорение \[ {a_\tau } = \frac{{d\upsilon }}{{dt}}. \]
Нормальное ускорение \[ \begin{gathered}
  {a_n} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R} \Rightarrow \upsilon  = \sqrt {{a_n} \cdot R}  = \sqrt {\left( {A + Bt + C{t^2}} \right) \cdot R}  = \sqrt {\left( {1 + 6t + 9{t^2}} \right) \cdot R}  =  \hfill \\
   = \sqrt {{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} \cdot R} \,\, = \left( {1 + 3t} \right) \cdot \sqrt R ,\;\;R = 4 \Rightarrow \upsilon  = 2 + 6t. \hfill \\
\end{gathered} \]
  \[ {a_\tau } = \frac{d}{{dt}}\left( {2 + 6t} \right) = 6. \]
Путь, пройденный точкой за t = 5 c: \[ s = \int\limits_0^t {\upsilon dt = } \int\limits_0^t {\left( {2 + 6t} \right)dt = \left. {2t + 3{t^2}} \right|} _0^t = 2t + 3t_{}^2\; = 2 \cdot 5 + 3 \cdot {5^2} = 85. \]
Полное ускорение \[ a = \sqrt {{a_n}^2 + {a_\tau }^2}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{{\upsilon ^2}}}{R}} \right)}^2} + {a_\tau }^2}  = \sqrt {\frac{{{{\left( {2 + 6t} \right)}^4}}}{{{R^2}}} + {a_\tau }^2} . \]
Полное ускорение в момент времени t = 1 c равно \[ a = \sqrt {\frac{{{{\left( {2 + 6 \cdot 1} \right)}^4}}}{{{4^2}}} + {6^2}}  = 17,1. \]
Ответ: 6 м/с²; 85 м; 17,1 м/с².