Решение.
Для решения задачи применим закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке, и состоит в следующем:
Если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Момент импульса определяется по формуле:
L = J∙ω (1).
ω – угловая скорость.
J – момент инерции.
J1∙ω1 = J2∙ω2 (2).
Момент инерции скалярная величина. Определим суммарный момент инерции в каждом случае относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр большего диска.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела
J0 (
J0 – момент инерции диска с человеком) относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела
m на квадрат расстояния
r между осями:
\[ \begin{align}
& {{J}_{1}}={{J}_{0}}+{{J}_{01}},{{J}_{1}}=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}+\frac{m}{3}\cdot {{R}^{2}}=\frac{5}{6}\cdot m\cdot {{R}^{2}}(3), \\
& {{J}_{2}}={{J}_{0}}+{{J}_{02}},{{J}_{2}}=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}+\frac{m}{3}\cdot {{(\frac{R}{2})}^{2}}=\frac{7}{12}\cdot m\cdot {{R}^{2}}(4). \\
& \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}=\frac{\frac{5}{6}\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{\frac{7}{12}\cdot m\cdot {{R}^{2}}}=\frac{10}{7}=1,43. \\
\end{align}
\]
Угловая скорость увеличится в 1,43 раза.
