Определите частоту вращения платформы

[Антон Огурцевич]

50. Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8 м вращается с частотой 18 оборотов в минуту. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5 кг∙м² до 1 кг∙м². Сделать рисунок.

[Gala]

Так как скорость платформы постоянна, результирующий момент всех внешних сил относительно оси вращения равен нулю. Следовательно, момент импульса относительно оси вращения системы платформа–человек остается постоянным:
\[ {I_1} \cdot {\omega _1} = {I_2} \cdot {\omega _2}\;\;\;\;(1) \]
где I₁  – момент инерции платформы с человеком относительно оси вращения, ω₁– угловая скорость платформы до уменьшения момента инерции человека I₀₁, I₂ и ω ₂– соответственно момент инерции и угловая скорость после уменьшения момента инерции человека до I₀₂.
\[ {I_1} = {I_0} + {I_{01}},\;\;{I_2} = {I_0} + {I_{02}} \]
Момент инерции платформы (диска) равен \[{I_0} = \frac{1}{2}{m_1}{R^2}.\]
С учетом этого равенство (1) примет вид \[ \begin{gathered}
  \left( {\frac{1}{2}m{R^2} + {I_{01}}} \right){\omega _1} = \left( {\frac{1}{2}m{R^2} + {I_{02}}} \right)\,{\omega _2},\;\omega  = 2\pi n \Rightarrow  \hfill \\
  \left( {\frac{1}{2}m{R^2} + {I_{{\text{01}}}}} \right){n_1} = \left( {\frac{1}{2}m{R^2} + {I_{{\text{02}}}}} \right)\,{n_2} \hfill \\
  {n_2} = \frac{{\left( {\frac{1}{2}m{R^2} + {I_{{\text{01}}}}} \right){n_1}}}{{\frac{1}{2}m{R^2} + {I_{{\text{02}}}}}} = \frac{{\left( {\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot {{0,8}^2} + 3,5} \right) \cdot 18}}{{\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot {{0,8}^2} + 1}} = 23. \hfill \\
\end{gathered} \]

 
Ответ: 23 об/мин.