Материальная точка движется по окружности

[Антон Огурцевич]

1. Материальная точка движется по окружности, радиус которой 20 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением s = t³ + 4∙t² - t + 8. Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 3 с от начала её движения. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По условию задачи дано уравнение координаты, начальная координата х₀ = 8 м.
Определим координату точки через 3 с от начала её движения
х(3) = 33 + 4∙3² - 3 + 8 = 68 м.
Определим путь точки через 3 с от начала её движения
s(3)=х(3) – х₀, s(3)=68 – 8 =60 м.
Определим скорость точки как первую производную от s по t
υ = s´ = (t³ + 4∙t² - t + 8 )´=3∙t² + 8∙t – 1.
υ(3) = 3∙3² + 8∙3 – 1 = 50 м/с.
Определим угловую скорость

\[ \omega =\frac{\upsilon }{R},\omega =\frac{50}{20}=2,5. \]

ω = 2,5 рад/с.
Определим угловое ускорение точки через 3 с от начала её движения

\[ \begin{align}
  & a=\upsilon '=(3\cdot {{t}^{2}}+8\cdot t-1)'=6\cdot t+8, \\
 & \varepsilon =\frac{a}{R},\varepsilon =\frac{6\cdot t+8}{R},\varepsilon =\frac{6\cdot 3+8}{20}=1,3. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 60 м, 2,5 рад/с, 1,3 м/с².