Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{J\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\ \ \ (1). \]
m – масса тела которое скатывается,
h – высота с которой скатывается тело (см. рис.), υ – линейная скорость тела,
J – момент инерции тела, ω – угловая скорость вращения тела.
Запишем формулу нахождения высоты наклонной плоскости с которой скатывается тело
h = l∙sinα (2).
Длину наклонной плоскости определим по формуле
\[ l=\frac{\upsilon +{{\upsilon }_{0}}}{2}\cdot t,{{\upsilon }_{0}}=0,\ l=\frac{\upsilon }{2}\cdot t\ (3). \]
(3) подставим в (2) выразим скорость которую будет иметь шарик при достижении основания наклонной плоскости
\[ h=\frac{\upsilon }{2}\cdot t\cdot \sin \alpha ,\upsilon =\frac{2\cdot h}{t\cdot \sin \alpha }\ (4). \]
Угловая скорость связана с линейной скоростью
\[ \omega =\frac{\upsilon }{R}\ \ \ (5). \]
Момент инерции шарика определяется по формуле
\[ J=\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{5}\ \ \ (6). \]
Подставим (6) и (5) и (4) в (1):
\[ \begin{align}
& m\cdot g\cdot h=\frac{m}{2}\cdot {{(\frac{2\cdot h}{t\cdot \sin \alpha })}^{2}}+\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5\cdot 2\cdot {{R}^{2}}},m\cdot g\cdot h=\frac{m}{2}\cdot {{(\frac{2\cdot h}{t\cdot \sin \alpha })}^{2}}+\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{5\cdot 2\cdot {{R}^{2}}}\cdot {{(\frac{2\cdot h}{t\cdot \sin \alpha })}^{2}}, \\
& g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot {{(\frac{2\cdot h}{t\cdot \sin \alpha })}^{2}}+\frac{1}{5}\cdot {{(\frac{2\cdot h}{t\cdot \sin \alpha })}^{2}},g=\frac{h}{2}\cdot {{(\frac{2}{t\cdot \sin \alpha })}^{2}}+\frac{h}{5}\cdot {{(\frac{2}{t\cdot \sin \alpha })}^{2}},g={{(\frac{2}{t\cdot \sin \alpha })}^{2}}\cdot (\frac{h}{2}+\frac{h}{5}), \\
& {{t}^{2}}=\frac{1}{g}\cdot {{(\frac{2}{\sin \alpha })}^{2}}\cdot \frac{7\cdot h}{10},t=\sqrt{\frac{1}{g}\cdot {{(\frac{2}{\sin \alpha })}^{2}}\cdot \frac{7\cdot h}{10}}(7). \\
& t=\sqrt{\frac{1}{10}\cdot {{(\frac{2}{0,5})}^{2}}\cdot \frac{7\cdot 0,3}{10}}=0,58. \\
\end{align} \]
Ответ: 0,58 с.
