Электростатическое поле создаётся равномерно заряженным шаром

[Антон Огурцевич]

60. Электростатическое поле создаётся равномерно заряженным шаром радиусом 1 м с общим зарядом 50 нКл. Определите разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях: 1) 1,5 м и 2 м; 2) 0,3 м и 0,8 м. Сделать рисунок.

[Gala]

Разность потенциалов двух точек поля связана с напряженностью следующим соотношением: \[{\varphi _1} - {\varphi _2} = \int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {Edr.} \]
Напряженность определяется по теореме Остроградского-Гаусса:\[ \oint\limits_S {{E_n}dS = \frac{Q}{{{\varepsilon _0}}},} \]
где Q – заряд, находящийся внутри гауссовой поверхности – в данном случае - сферы радиусом r, Е_n  - нормальная составляющая вектора напряженности. Е_n = Е, т.к. вектор напряженности в каждой точке сферической поверхности, проведенной вокруг шара, направлен по нормали к dS.
1)   В этом случае –  r > R и внутри гауссовой поверхности находится весь шар, заряд которого Q = 50 нКл и \[ \begin{gathered}
  E \cdot 4\pi {r^2} = \frac{Q}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow E = \frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}} \hfill \\
  {\varphi _1} - {\varphi _2} = \int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {\frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}dr = } \frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {\frac{{dr}}{{{r^2}}} = } \frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left. {\left( { - \frac{1}{r}} \right)} \right|_{{r_1}}^{{r_2}} =  - \frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_1}}}} \right) = \frac{Q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_2}}}} \right) \hfill \\
  \;\;\frac{1}{{4\pi \varepsilon {\varepsilon _0}}} = K = 9 \cdot {10^9} \hfill \\
  \;{\varphi _1} - {\varphi _2} = 9 \cdot {10^9} \cdot 50 \cdot {10^{ - 9}}\left( {\frac{1}{{1,5}} - \frac{1}{2}} \right) = 75\;B. \hfill \\
\end{gathered} \]
2)   В этом случае – r < R и внутри гауссовой поверхности находится часть шара, заряд которой \[ Q' = \rho V', \]  где ρ – объемная плотность заряда, . V^/ - объем шара, радиусом r. Объемная плотность \[\begin{gathered}
  \rho  = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}} = \frac{{3Q}}{{4\pi {R^3}}} \Rightarrow Q' = \frac{{3Q}}{{4\pi {R^3}}} \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{{Q{r^3}}}{{{R^3}}}, \hfill \\
  E \cdot 4\pi {r^2} = \frac{{Q'}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow E = \frac{{\frac{{Q{r^3}}}{{{R^3}}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}} = K\frac{{Qr}}{{{R^3}}}, \hfill \\
  {\varphi _1} - {\varphi _2} = \int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {K\frac{{Qr}}{{{R^3}}}dr = K\frac{Q}{{{R^3}}}} \int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {rdr = K\frac{Q}{{{R^3}}}} \frac{{\left( {r_2^2 - r_1^2} \right)}}{2}. \hfill \\
  {\varphi _1} - {\varphi _2} = 9 \cdot {10^9} \cdot \frac{{50 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{{{1^3}}} \cdot \frac{{\left( {{{0,8}^2} - {{0,3}^2}} \right)}}{2} = 124\;B. \hfill \\
\end{gathered} \]
Ответ: 1) 75 В; 2) 124 В.