Каково максимальное сжатие пружины?

[Fiz]

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста решить задачу.

На гладкой горизонтальной плоскости покоится брусок массой m =60 г, прикреплённый к концу лёгкой пружины жесткостью k = 40 Н/м. Другой конец пружины закреплён неподвижно (смотрите рисунок). В брусок попадает пластилиновый шарик массой M = 40 г, летящий горизонтально со скоростью υ₀ = 2 м/с. После удара брусок, с прилипшим к нему шариком, движется поступательно вдоль оси пружины. Каково максимальное сжатие пружины?

Спасибо!

[alsak]

Так как шарик прилип к бруску, то это неупругий удар. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса (закон сохранения энергии не выполняется). Сделаем схематический чертеж. Направим ось 0Х по направлению начальной скорости шарика (рис. 1).
Запишем проекцию закона сохранения импульса на ось 0Х и найдем скорость системы шарик-брусок после столкновения:

M⋅υ₀ = (m + M)⋅υ_1x,

\[ \upsilon_{1x} = \frac{M \cdot \upsilon_{0}}{m+M}.  \]

После удара шарика о брусок внешних сил нет («гладкая плоскость» — сила трения равна нулю), поэтому теперь можно использовать закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту плоскости, по которой движется брусок (рис. 2).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

\[ W_{0} = \frac{\left(m + M \right) \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} = \frac{\left(m + M \right)}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot \upsilon_{0}}{m + M} \right)^{2} = \frac{\left(M \cdot \upsilon_{0} \right)^{2}}{2 \cdot \left(m + M \right)}. \]

Максимальное сжатие пружины будет в тот момент, когда система шарик-брусок остановится, поэтому полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 

\[ W=\frac{k \cdot \Delta l_{\max}^{2}}{2}. \]

Из закона сохранения механической энергии следует, что
 

\[ \frac{\left(M \cdot \upsilon_{0} \right)^{2}}{2 \cdot \left(m + M \right)} = \frac{k \cdot \Delta l_{\max}^{2}}{2}, \, \, \, \Delta l_{\max} =\frac{M \cdot \upsilon_{0}}{\sqrt{k \cdot \left(m + M \right)}},  \]

Δl_max = 4∙10^–2 м = 4 см.