Во сколько раз отличаются радиусы окружностей, которые описывают частицы?

[Антон Огурцевич]

7. Протон и электрон движутся в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Во сколько раз отличаются радиусы окружностей, которые описывают частицы, если у них одинаковые кинетические энергии? Удельные заряды частиц: e/m_e = 1,76∙10¹¹ Кл/кг, e/m_p = 9,58∙10⁷ Кл/кг. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
На заряженную частицу которая движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции действует сила Лоренца, и сила Лоренца является центростремительной силой, запишем формулу для определения радиуса окружности, которую описывает частица

\[ \begin{align}
  & {{F}_{L}}=q\cdot B\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha ,\ \alpha =\frac{\pi }{2},\ sin\frac{\pi }{2}=1,{{F}_{L}}=q\cdot B\cdot \upsilon \ \ \ (1),\ {{F}_{L}}=m\cdot a\ \ \ (2),\ a=\frac{\upsilon _{{}}^{2}}{R}\ \ \ \ (3),\  \\
 & q\cdot B\cdot \upsilon =m\cdot \frac{\upsilon _{{}}^{2}}{R},\ R=\frac{m\cdot \upsilon }{q\cdot B}\ \ \ \ (4). \\
\end{align} \]

Запишем формулу кинетической энергии и выразим скорость каждой частицы

\[ E=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot E}{m}}(5). \]

(5) подставим в (4) и определим отношение радиуса окружности, которую описывает протон к радиусу окружности которую описывает  электрон.
Учитываем, что по условию задачи у частиц одинаковые кинетические энергии

\[ \begin{align}
  & R=\frac{m}{q\cdot B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot E}{m}}\ ,R=\frac{m}{q\cdot B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot E}{m}},{{R}_{e}}=\frac{{{m}_{e}}}{{{q}_{e}}\cdot B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot E}{{{m}_{e}}}},{{R}_{p}}=\frac{{{m}_{p}}}{{{q}_{p}}\cdot B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot E}{{{m}_{p}}}}, \\
 & \frac{{{R}_{p}}}{{{R}_{e}}}=\frac{\frac{{{m}_{p}}}{{{q}_{p}}\cdot B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot E}{{{m}_{p}}}}}{\frac{{{m}_{e}}}{{{q}_{e}}\cdot B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot E}{{{m}_{e}}}}}=\frac{{{m}_{p}}}{{{q}_{p}}}\cdot \frac{{{q}_{e}}}{{{m}_{e}}}\cdot \sqrt{\frac{{{m}_{e}}}{{{m}_{p}}}}=\sqrt{\frac{m_{p}^{2}\cdot q_{e}^{2}\cdot {{m}_{e}}}{m_{e}^{2}\cdot q_{p}^{2}\cdot {{m}_{p}}}}=\sqrt{\frac{{{m}_{p}}\cdot {{q}_{e}}\cdot {{q}_{e}}}{{{m}_{e}}\cdot {{q}_{p}}\cdot {{q}_{p}}}}. \\
 & {{q}_{p}}={{q}_{e}}=e,\frac{{{R}_{p}}}{{{R}_{e}}}=\sqrt{\frac{e\cdot {{m}_{p}}\cdot e}{{{m}_{e}}\cdot e\cdot e}}=\sqrt{\frac{e\cdot {{m}_{p}}}{{{m}_{e}}\cdot e}}. \\
 & \frac{{{R}_{p}}}{{{R}_{e}}}=\sqrt{\frac{1,76\cdot {{10}^{11}}}{9,58\cdot {{10}^{7}}}}=42,86. \\
\end{align}
 \]

Ответ: Радиус окружности которую описывает протон в 42,86 раза больше радиуса окружности которую описывает электрон.