Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер

[Антон Огурцевич]

76. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер радиусами 5 см и 5,5 см. Пространство между обкладками конденсатора заполнено маслом (ε = 2). Определите: 1) ёмкость этого конденсатора; 2) шар какого радиуса, помещённый в масло, обладает такой же ёмкостью. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: электрическая ёмкость сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических сфер радиусами R₁ = 5 см и R₂ =5,5 см рассчитывается по формуле
\[ C=4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon \cdot {{\left( \frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}} \right)}^{-1}}, \]
здесь ε₀ = 8,85•10^-12 Кл²/ (Н•м²) – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость вещества между сферами.
Электрическая ёмкость сферы (шара) радиуса R:
\[ C=4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon \cdot R, \]
И тогда искомый радиус
\[ R=\frac{C}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon }. \]
Расчёт:
\[ C=4\cdot 3,14\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 2\cdot {{\left( \frac{1}{5\cdot {{10}^{-2}}}-\frac{1}{5,5\cdot {{10}^{-2}}} \right)}^{-1}}=1,22\cdot {{10}^{-10}}, \]
\[ R=\frac{1,22\cdot {{10}^{-10}}}{4\cdot 3,14\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 2}=0,55. \]
Ответ: 122 пФ, 55 см.