Найти отношение скоростей электрона и протона

[Антон Огурцевич]

6. Найти отношение скоростей электрона и протона, приобретённых ими при прохождении в электрическом поле расстояния, соответствующего разности потенциалов 10 В. Начальная скорость частиц равнялась нулю. Сделать рисунок.

[Сергей]

Для решения задачи необходимы m_е – масса электрона, m_е = 9,1∙10^-31 кг, е – модуль заряда электрона, е = 1,6∙10^-19 Кл, m_р – масса протона, m_р = 1,67∙10^-27 кг, q – модуль заряда протона, q = 1,6∙10^-19 Кл.
Электрон, ускоренный разностью потенциалов, определим скорость электрона:

\[ \begin{align}
  & e\cdot U=A,\ A=\frac{{{m}_{e}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}-\frac{{{m}_{e}}\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2},\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ A=\frac{{{m}_{e}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ e\cdot U=\frac{{{m}_{e}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}\ , \\
 & {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{{{m}_{e}}}}\ \ \ (1).{{\upsilon }_{1}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot 10}{9,1\cdot {{10}^{-31}}}}=1,875\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]

Протон, ускоренный разностью потенциалов, определим скорость протона:

\[ \begin{align}
  & q\cdot U=A,\ A=\frac{{{m}_{p}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}-\frac{{{m}_{p}}\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2},\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ A=\frac{{{m}_{p}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2},\ q\cdot U=\frac{{{m}_{p}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}\ , \\
 & {{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\frac{2\cdot q\cdot U}{{{m}_{p}}}}\ \ \ (2).{{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot 10}{1,67\cdot {{10}^{-27}}}}=4,38\cdot {{10}^{4}}. \\
\end{align}

 \]

Определим отношение скорости электрона к скорости протона

\[ \begin{align}
  & \frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}=\frac{\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{{{m}_{e}}}}}{\sqrt{\frac{2\cdot q\cdot U}{{{m}_{p}}}}}=\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U\cdot {{m}_{p}}}{{{m}_{e}}\cdot 2\cdot q\cdot U}}=\sqrt{\frac{e\cdot {{m}_{p}}}{{{m}_{e}}\cdot q}}.\frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}=\frac{1,875\cdot {{10}^{6}}}{4,38\cdot {{10}^{4}}}=42,8. \\
 & \frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}=\sqrt{\frac{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot 1,67\cdot {{10}^{-27}}}{9,1\cdot {{10}^{-31}}\cdot 1,6\cdot {{10}^{-19}}}}=\sqrt{\frac{1,67\cdot {{10}^{-27}}}{9,1\cdot {{10}^{-31}}}}=42,84. \\
\end{align} \]

Ответ: скорость электрона в 42,8 раза больше скорости протона.

[Gala]

Работа электрического поля идет на изменение кинетической энергии частиц:
\[ \begin{array}{l}
A = \Delta K\\
q\Delta \varphi  = \frac{{m{\upsilon _{}}^2}}{2} - \frac{{m{\upsilon _0}^2}}{2}\;\;\;{\upsilon _0} = 0 \Rightarrow q\Delta \varphi  = \frac{{m{\upsilon _{}}^2}}{2} \Rightarrow \upsilon  = \sqrt {\frac{{2q\Delta \varphi }}{m}} \\
\frac{{{\upsilon _e}}}{{{\upsilon _p}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{2{q_e}\Delta \varphi }}{{{m_e}}}} }}{{\sqrt {\frac{{2{q_p}\Delta \varphi }}{{{m_p}}}} }},\;\;\;\left| {{q_e}} \right| = \left| {{q_p}} \right| \Rightarrow \frac{{{\upsilon _e}}}{{{\upsilon _p}}} = \sqrt {\frac{{{m_p}}}{{{m_e}}}}  = \sqrt {\frac{{1,67 \cdot {{10}^{ - 27}}}}{{9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}}}}  = 42,8.
\end{array} \]
Ответ: 42,8