Определить потенциал поля в центре рамки

[Антон Огурцевич]

44. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда τ = 200 нКл/м. Определить потенциал поля в центре рамки. Сделать рисунок.

[Gala]

На стороне рамки выделим произвольный элементарный участок длиной dl. Заряд dq, находящийся на этом участке, можно считать точечным. Тогда потенциал электрического поля, создаваемый выделенным зарядом
\[ d\varphi  = \frac{{dq}}{{4\pi \varepsilon {\varepsilon _0}r}}, \]
где r– расстояние от выделенного элемента до центра рамки; q = τ∙dl – заряд элементарного участка; dl = r∙dα, и угол изменяется вдоль одной стороны от –π/2 до π/2, как видно из рисунка; ε =1. Так как таких стороны четыре, то результирующий потенциал в центре будет равен φ_р = 4∙φ.
\[ \begin{gathered}
  d\varphi  = \frac{{\tau  \cdot r \cdot d\alpha }}{{4\pi {\varepsilon _0}\,r}} = \frac{{\tau  \cdot d\alpha }}{{4\pi {\varepsilon _0}\,}}. \hfill \\
  \varphi  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\tau  \cdot d\alpha }}{{4\pi {\varepsilon _0}\,}} = \frac{\tau }{{4\pi {\varepsilon _0}\,}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\alpha  = \frac{\tau }{{4\pi {\varepsilon _0}\,}}\left. \alpha  \right|} } _{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\tau }{{4\pi {\varepsilon _0}\,}}\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{\pi \tau }}{{4\pi {\varepsilon _0}\,}} = \frac{\tau }{{4{\varepsilon _0}\,}}. \hfill \\
  {\varphi _p} = 4 \cdot \frac{\tau }{{4{\varepsilon _0}\,}} = \frac{\tau }{{{\varepsilon _0}\,}} = \frac{{200 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{{8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}}} = 22599\;B.\; \hfill \\
\end{gathered} \]
Ответ: 22,6 кВ.