В сеть переменного тока напряжением

[Антон Огурцевич]

436. В сеть переменного тока напряжением 110 В и частотой 100 Гц последовательно включены конденсатор ёмкостью 0,5 мкФ, катушка с индуктивностью 0,2 Гн и активное сопротивление 4 Ом. Найти: 1) силу тока в цепи; 2) резонансную частоту; 3) силу тока и напряжение на конденсаторе и катушке при резонансе напряжений. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1) Силу тока определим из закона Ома:

\[ I=\frac{U}{Z}\ \ \ (1),\ Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C})}^{2}}}\ \ \ (2),\ \omega =2\cdot \pi \cdot \nu \ \ \ (3). \]

Z – полное сопротивление цепи. Подставим (3) в (2) и (2) в (1) определим эффективное (действующее) значение силы тока в цепи.

\[ \begin{align}
  & I=\frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(2\cdot \pi \cdot \nu \cdot L-\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot C})}^{2}}}}\ . \\
 & I=\frac{110}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{(2\cdot 3,14\cdot 100\cdot 0,2-\frac{1}{2\cdot 3,14\cdot 100\cdot 0,5\cdot {{10}^{-6}}})}^{2}}}}=0,036. \\
\end{align} \]

I = 0,036 А.
2) Частота свободных колебаний является частотой резонанса контура, на которой реактивное сопротивление индуктивности X_L равно реактивному сопротивлению ёмкости

\[  \begin{align}
  & {{X}_{L}}=2\cdot \pi \cdot \nu \cdot L,{{X}_{C}}=\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot C},{{X}_{L}}={{X}_{C}},2\cdot \pi \cdot \nu \cdot L=\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot C},4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot {{\nu }^{2}}\cdot L=\frac{1}{C},{{\nu }^{2}}=\frac{1}{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot C\cdot L}, \\
 & \nu =\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{C\cdot L}},\nu =\frac{1}{2\cdot 3,14\cdot \sqrt{0,5\cdot {{10}^{-6}}\cdot 0,2}}=503,548. \\
\end{align} \]

ν = 504 Гц.
3) Определим силу тока и напряжение на конденсаторе и катушке при резонансе напряжений.
Силу тока определим из закона Ома:

\[ I=\frac{U}{Z},\ Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{X}_{L}}-{{X}_{C}})}^{2}}},\ {{X}_{L}}={{X}_{C}},Z=\sqrt{{{R}^{2}}},Z=R,I=\frac{U}{R},I=\frac{110}{4}=27,5. \]

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансной частоте будут равны

\[ \begin{align}
  & {{U}_{L}}=I\cdot {{X}_{L}}=I\cdot 2\cdot \pi \cdot \nu \cdot L=I\cdot 2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}\cdot L=I\cdot \sqrt{\frac{L}{C}}. \\
 & {{U}_{C}}=I\cdot {{X}_{C}}=I\cdot \frac{1}{2\cdot \pi \cdot \nu \cdot C}=I\cdot \frac{1}{2\cdot \pi \cdot C}\cdot 2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C}=I\cdot \sqrt{\frac{L}{C}}. \\
 & {{U}_{C}}={{U}_{L}}=27,5\cdot \sqrt{\frac{0,2}{0,5\cdot {{10}^{-6}}}}=17392,5. \\
\end{align}
 \]

I = 27,5 А, U_С = U_L = 17392,5 В.