Найти работу сжатия

[Антон Огурцевич]

Гелий в объёме 10 л, находящийся под давлением 2 атм, адиабически сжат до объёма 2 л. Найти работу сжатия. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
V₁ = 10∙10^-3 м³, V₂ = 2∙10^-3 м³, р₁ = 2∙10⁵ Па.
При адиабатическом сжатии (Q = 0) первое начало термодинамики можно записать так:

\[ \delta A=-dU,\delta A=-\frac{m}{M}\cdot {{C}_{V}}\cdot dT(1). \]

Если газ адиабатически сжимается от объема V₁ до V₂, то его температура увеличивается от Т₁ до Т₂ и работа сжатия газа

\[ \begin{align}
  & A=-\frac{m}{M}\cdot {{C}_{V}}\cdot \int\limits_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{dT=-}\frac{m}{M}\cdot {{C}_{V}}\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})(2),{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot {{T}_{1}},{{T}_{1}}=\frac{M}{m}\cdot \frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{R}(3), \\
 & \frac{{{C}_{V}}}{R}=\frac{1}{\gamma -1},T\cdot {{V}^{\gamma -1}}=const,{{T}_{1}}\cdot {{V}_{1}}^{\gamma -1}={{T}_{2}}\cdot {{V}_{2}}^{\gamma -1}, \\
 & {{T}_{2}}={{T}_{1}}\cdot {{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\gamma -1}},{{T}_{2}}=\frac{M}{m}\cdot \frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{R}\cdot {{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\gamma -1}}, \\
 & A=-\frac{m}{M}\cdot {{C}_{V}}\cdot (\frac{M}{m}\cdot \frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{R}\cdot {{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\gamma -1}}-\frac{M}{m}\cdot \frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{R}), \\
 & A=-\frac{m}{M}\cdot {{C}_{V}}\cdot \frac{M}{m}\cdot \frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{R}\cdot ({{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\gamma -1}}-1),A=-\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\gamma -1}\cdot ({{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\gamma -1}}-1)(4). \\
\end{align} \]

γ – показатель адиабаты,

\[ \gamma =\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}\ . \]

С_р и С_V – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе.
Теплоемкость газа при изобарном процессе связана с теплоемкостью газа при изохорном процессе соотношением (уравнение Майера):

\[ {{C}_{p}}={{C}_{V}}+R,\gamma =\frac{{{C}_{V}}+R}{{{C}_{V}}},\gamma =1+\frac{R}{{{C}_{V}}},\,{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,\gamma =\frac{i+2}{i}.\gamma =\frac{5}{3}.

 \]

Где ι = 3, так как гелий одноатомный газ, R = 8,31 Дж/моль∙К, R – универсальная газовая постоянная, М – малярная масса гелия, М = 4 ∙10^-3 кг/моль.

\[ A=-\frac{2\cdot {{10}^{6}}\cdot 10\cdot {{10}^{-3}}}{\frac{5}{3}-1}\cdot ({{(\frac{10\cdot {{10}^{-3}}}{2\cdot {{10}^{-3}}})}^{\frac{5}{3}-1}}-1)=-52,72\cdot {{10}^{3}}. \]

Ответ: - 52,72∙10³ Дж.