Покоящееся ядро

[Антон Огурцевич]

11.25. Покоящееся ядро ²¹³Po испустило α-частицу с кинетической энергией T_α = 8,34 МэВ. При этом дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Найти полную энергию, освобождаемую в этом процессе. Какую долю этой энергии составляет кинетическая энергия дочернего ядра? Какова скорость отдачи дочернего ядра? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Запишем уравнение α-распада ядра ²¹³₈₄Ро:

²¹³₈₄Ро → ²⁰⁹₈₂Pb + ⁴₂Не

1) Определим скорость отдачи дочернего ядра.
m(²⁰⁹₈₂Pb) =208,981 а.е.м. =  (208,981∙1,67∙10^-27) кг = 348,998∙10^-27 кг.
m(⁴₂Не) =4,0026 а.е.м. =  (4,0026∙1,67∙10^-27) кг = 6,684∙10^-27 кг.
T_α = 8,34 МэВ = (8,34∙10⁶∙1,6∙10^-19) Дж = 13,344∙10^-13 Дж.
Для решения задачи применим закон сохранения импульса. До распада ядро покоилось, после распада ядра разлетелись в противоположные стороны

\[ \begin{align}
  & 0=m(_{92}^{213}Pb)\cdot {{\upsilon }_{Pb}}-m(_{2}^{4}He)\cdot {{\upsilon }_{\alpha }},{{\upsilon }_{Pb}}=\frac{m(_{2}^{4}He)\cdot {{\upsilon }_{\alpha }}}{m(_{92}^{213}Pb)}(1), \\
 & {{T}_{\alpha }}=\frac{m(_{2}^{4}He)\cdot \upsilon _{\alpha }^{2}}{2},{{\upsilon }_{\alpha }}=\sqrt{\frac{2\cdot {{T}_{\alpha }}}{m(_{2}^{4}He)}}(2),{{\upsilon }_{Pb}}=\frac{m(_{2}^{4}He)\cdot \sqrt{\frac{2\cdot {{T}_{\alpha }}}{m(_{2}^{4}He)}}}{m(_{92}^{213}Pb)}(3). \\
 & {{\upsilon }_{Pb}}=\frac{6,684\cdot {{10}^{-27}}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 13,344\cdot {{10}^{-13}}}{6,684\cdot {{10}^{-27}}}}}{348,998\cdot {{10}^{-27}}}=3,8\cdot {{10}^{5}}. \\
\end{align}
 \]

2) Определим кинетическую энергию дочернего ядра

\[ \begin{align}
  & {{T}_{Pb}}=\frac{m(_{92}^{213}Pb)\cdot \upsilon _{Pb}^{2}}{2}(4).{{T}_{Pb}}=\frac{348,998\cdot {{10}^{-27}}\cdot {{(3,8\cdot {{10}^{5}})}^{2}}}{2}=2519,766\cdot {{10}^{-17}}=0,252\cdot {{10}^{-13}}. \\
 & {{T}_{Pb}}=\frac{0,252\cdot {{10}^{-13}}}{{{10}^{6}}\cdot 1,6\cdot {{10}^{-19}}}=0,1575. \\
\end{align}
 \]

Определим полную энергию, освобождаемую в этом процессе. Энергия ядра переходит в кинетическую энергию освободившихся ядер и излучается в виде квантов. Приближенно можно считать, что энергия ядра равна суме кинетической энергии освободившихся ядер

\[ \begin{align}
  & W={{T}_{Pb}}+{{T}_{\alpha }}(5).W=0,252\cdot {{10}^{-13}}+13,344\cdot {{10}^{-13}}=13,596\cdot {{10}^{-13}}. \\
 & W=\frac{13,596\cdot {{10}^{-13}}}{{{10}^{6}}\cdot 1,6\cdot {{10}^{-19}}}=8,4975. \\
\end{align} \]

3) Определим какую долю этой энергии составляет кинетическая энергия дочернего ядра

\[ \eta =\frac{{{T}_{Pb}}}{W}(6).\eta =\frac{0,1575}{8,4975}=0,0185. \]

Ответ: 3,8∙10⁵ м/с, 13,596∙10^-13 Дж или 8,4975 МэВ, 1,85 %.