Колесо вращается так, что зависимость угла поворота от времени

[Антон Огурцевич]

101. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота от времени определяется уравнением φ = (1 + 2∙t – 2∙t³). Для точек, лежащих на ободе колеса, определить угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса через 2 секунды, если их нормальное ускорение в этот момент равно 200 м/с². Определить радиус колеса. Построить графики зависимости углового ускорения, угловой скорости и угла поворота от времени. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Первая производная от углового перемещения есть угловая скорость:

\[  \begin{align}
  & \varphi \text{ }=\text{ 1 + 2}\cdot t-2\cdot {{t}^{3}}(1). \\
 & \omega (t)=\varphi {{(t)}^{\prime }}=(\text{1 + 2}\cdot t-2\cdot {{t}^{3}}{)}'=2-6\cdot {{t}^{2}}(2). \\
 & \upsilon =\omega \cdot R(3). \\
 & \omega (2)=\ 2-6\cdot 4=-22.\upsilon =-22\cdot R(4). \\
\end{align} \]

Определим радиус колеса через нормальное ускорение

\[ {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ (5)\ .{{a}_{n}}=\frac{{{(-22\cdot R)}^{2}}}{R},{{a}_{n}}={{(-22)}^{2}}\cdot R,R=\frac{{{a}_{n}}}{{{(-22)}^{2}}}.R=\frac{200}{{{(-22)}^{2}}}=0,41.
 \]

R = 0,41 м.
Определим угловое ускорение, тангенциальное ускорение и полное ускорение

\[ \begin{align}
  & \varepsilon =\varphi {{(t)}^{\prime \prime }}=(1+2\cdot t-2\cdot {{t}^{3}}{)}''=(2-6\cdot {{t}^{2}})'=-12\cdot t\ \ \ (6). \\
 & {{a}_{\tau }}=R\cdot \varepsilon \,(7). \\
 & {{a}_{\tau }}(2)=0,41\cdot (-12\cdot 2)=-9,84. \\
 & a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2}}(8).a=\sqrt{{{(-9,84)}^{2}}+{{200}^{2}}}=200,24. \\
\end{align} \]

Угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент времени t = 2 c определим, как косинус угла между нормальным и полным ускорением

\[ \cos \alpha =\frac{{{a}_{n}}}{a}.cos\alpha =\frac{200}{200,24}=0,9988.
 \]

Ответ: 3°, 0,41 м.
φ = (1 + 2∙t – 2∙t³) (рис 1)
ω = 2 - 6∙t²    (рис 2)
ε = -12∙t        (рис 3)