Решение.
Разностью двух векторов
а и
b называется такой вектор
с, который будучи сложенным с вектором
b, даст
а. Разность двух векторов
а и b представляется направленным отрезком, соединяющим концы этих векторов и имеющим направление «к концу того вектора, из которого вычитают».
1) Определим модуль разности векторов |
a(вектор) -
b(вектор)|.
Разность векторов определим по формуле:
\[ \begin{align}
& \vec{c}=\vec{a}-\vec{b}(1).Ox:{{c}_{x}}={{a}_{x}}-{{b}_{x}}(2),\,Oy:{{c}_{y}}={{a}_{y}}-{{b}_{y}}(3),\left| {\vec{c}} \right|=\left| \vec{a}-\vec{b} \right|=\sqrt{c_{x}^{2}+c_{y}^{2}}(4). \\
& {{a}_{x}}=x-{{x}_{0}},{{a}_{x}}=4-1=3,{{a}_{y}}=y-{{y}_{0}},{{a}_{y}}=7-3=4, \\
& {{b}_{x}}=x-{{x}_{0}},{{b}_{x}}=7-2=5,{{b}_{y}}=y-{{y}_{0}},{{b}_{y}}=4-2=2, \\
& {{c}_{x}}=3-5=-2,{{c}_{y}}=4-2=2.\left| {\vec{c}} \right|=\left| \vec{a}-\vec{b} \right|=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{8}=2\cdot \sqrt{2}=2,82. \\
\end{align} \]
2). Угол между векторами (рис) определим по теореме косинусов, вектор
а и вектор
b отложим из одного пункта.
\[ \begin{align}
& {{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha (5). \\
& \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}, \\
& \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{25}=5,\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{29}. \\
& \cos \alpha =\frac{({{a}^{2}}+{{b}^{2}})-{{(a-b)}^{2}}}{2\cdot a\cdot b},\ \cos \alpha =\frac{({{(\sqrt{25})}^{2}}+{{(\sqrt{29})}^{2}})-{{(\sqrt{8})}^{2}}}{2\cdot \sqrt{25}\cdot \sqrt{29}}=0,8542. \\
& \alpha ={{31}^{0}}33'. \\
\end{align} \]
Ответ: 2,82 м, 31°33’.
