Решить задачу графически и аналитически

[Антон Огурцевич]

Найдите:
а) модуль суммы |a(вектор)+b(вектор)|;
б) разности |a(вектор)-b(вектор)|двух векторов a(вектор) и b(вектор);
в) скалярное произведение векторов a(вектор)*b(вектор);
г) косинус угла между векторами a(вектор) и b(вектор);
д) векторное произведение [a(вектор)*b(вектор)] двух векторов a(вектор) и b(вектор).
Решить задачу графически и аналитически.

[Сергей]

Решение.
1). Определим модуль суммы |a(вектор)+b(вектор)|.
 2) разности |a(вектор)-b(вектор)|двух векторов a(вектор) и b(вектор);
 (рис 1) (рис 3).
Вектор а имеет координаты (а_х; а_у), вектор b координаты (b_х; b_у). Сумма векторов и разность определим по формулам:

\[ \begin{align}
  & \vec{a}+\vec{b}=({{a}_{x}}+{{b}_{x}};{{a}_{y}}+{{b}_{y}}). \\
 & \vec{a}-\vec{b}=({{a}_{x}}-{{b}_{x}};{{a}_{y}}-{{b}_{y}}). \\
\end{align}
 \]

а_х = 3,0 м – 1,0 м = 2,0 м, а_у = 5,0 м – 2,0 м = 3,0 м, b_х = 3,0 м – 5,0 м =  -2,0 м, b_у = 4,0 м – 1,0 м = 3,0 м.
Сумма векторов, вектор с координатами а + b = (0; 6,0).
Разность векторов, вектор с координатами а – b = (4,0; 0).
3). Скалярное произведение векторов заданных координатами определим воспользовавшись следующей формулой:

\[ \vec{a}\cdot \vec{b}={{a}_{x}}\cdot {{b}_{x}}+{{a}_{y}}\cdot {{b}_{y}}. \]

а∙b = 5,0 м².
4). (рис 2) Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения со направленности с другим вектором. Косинус угла между векторами определяется как отношение скалярного произведения векторов на произведение модулей векторов.

\[ \cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left| {\vec{a}} \right|\cdot \left| {\vec{b}} \right|}.
 \]

а∙b = 5,0 м².

\[ \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}. \]

 

\[  \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{13},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{13}. \]

соsα = 0,385.
5). Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис.4). Длину вектора с определим по формуле:

\[ \left| {\vec{c}} \right|=\left| {\vec{a}} \right|\cdot \left| {\vec{b}} \right|\cdot \sin \theta . \]

\[ \sin \theta =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\theta }. \]

sinΘ = 0,923.
с = 12,0 м².

[Сергей]

Графический способ решения задачи:
1). Сложение векторов (рис 1):
а_х + b_х = 0.
а_у + b_у = 6,0.
2). Разность векторов (рис 2):
а_х - b_х = 4,0.
а_у - b_у = 0.
3). Угол между векторами (рис 2) определим по теореме косинусов:

(а – b)² = а² + b² - 2∙а∙b∙соsα.

\[ \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{13},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{13}. \]

(а – в) = 4 (рис 2) сторона против угла который находим.

\[ \cos \alpha =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}}{2\cdot a\cdot b},\ \cos \alpha =\frac{13+13-16}{2\cdot 13}. \]

   
соsα = 0,385.