Дифракционная решётка освещается белым светом

[Антон Огурцевич]

Дифракционная решётка освещается белым светом. На экране на расстоянии 1 м от решётки в дифракционной картине зафиксировано, что расстояние между длинноволновой границей спектра первого порядка и коротковолновой границей спектра второго порядка равно 1 см. Определить по этим данным период решётки. Считать, что видимый диапазон длин волн лежит в интервале длин волн от 400 нм до 700 нм. Ответ: 10 мкм. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, разделенных непрозрачными промежутками.
Максимум дифракционной решетки находится по формуле:

d∙sinφ = k∙λ   (1).

Запишем условие максимума для каждой из длин волн, учитываем, что k₁ = 1 и k₂ = 2:

d∙sinφ₁ = k₁∙λ₁   (2), d∙sinφ₂ = k₂∙λ₂   (3).

При малых углах можно считать, что:

sinφ = tgφ = а/L   (4).

λ₁ = 700∙10^-9 м, λ₂ = 400∙10^-9 м.
Учитываем, что расстояние между длинноволновой границей спектра первого порядка и коротковолновой границей спектра второго порядка равно 1 см, определим по этим данным период решётки

\[ \begin{align}
  & \ d\cdot \frac{{{a}_{1}}}{L}={{k}_{1}}\cdot {{\lambda }_{1}},\ d\cdot \frac{{{a}_{2}}}{L}={{k}_{2}}\cdot {{\lambda }_{2}},\ \ {{a}_{2}}=\frac{L\cdot {{k}_{2}}\cdot {{\lambda }_{2}}}{d},\ {{a}_{1}}=\frac{L\cdot {{k}_{1}}\cdot {{\lambda }_{1}}}{d}. \\
 & \Delta a={{a}_{2}}-{{a}_{1}}(5),\Delta a=\frac{L\cdot {{k}_{2}}\cdot {{\lambda }_{2}}}{d}-\frac{L\cdot {{k}_{1}}\cdot {{\lambda }_{1}}}{d},d=\frac{L\cdot {{k}_{2}}\cdot {{\lambda }_{2}}-L\cdot {{k}_{1}}\cdot {{\lambda }_{1}}}{\Delta a}, \\
 & d=\frac{L\cdot ({{k}_{2}}\cdot {{\lambda }_{2}}-{{k}_{1}}\cdot {{\lambda }_{1}})}{\Delta a}\,(5).d=\frac{1\cdot (2\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}-1\cdot 700\cdot {{10}^{-9}})}{0,01}={{10}^{-5}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 10 мкм.